multiplikativ Inverse des Polynoms

Question

Ich hänge mal wieder an einer Aufgabe fest in der ich die multiplikativ Inverse des Polynoms x in Z5 mod x²+3

ausrechnen soll.

Soweit ich das nun richtig verstehe muss ich folgende gewünschte Form anwenden: ax+b

Und folgendes ausrechnen x(ax+b) = ax² + bx

ax² + bx : x²+3 = a

Wenn ich das nun berechne kommt bei mir raus:

bx + 2a

Das bedeutet dann, dass b = 0?

Und 2a = 1  | mod 5

Ergibt dann 2 = 1

Ist das nun richtig oder habe ich mich verrechnet bzw. habe ich den falschen Ansatz?

Answer 1

du willst in $\mathbb{Z}_5[x]$ das Inverse von $x$ modulo $x^2 + 3$ ausrechnen?

Dann brauchst du einen Ansatz $ax + b$, den du mit $x$ multiplizierst (wie du es ja schon gemacht hast):

$x(ax + b) = ax^2 + bx$.

Die rechte Seite geht modulo $x^2 + 3$ in

$ax^2 + bx - a(x^2 + 3) = bx - 3a$

über. Da $bx - 3a \stackrel{!}{=} 1$ sein soll, muss $b = 0$ und $a = -\frac{1}{3} = -2$ sein.

Daraus folgt dein Zielpolynom $-2x$, das das Inverse zu $x$ in $\mathbb{Z}_5[x]$ modulo $x^2 + 3$ ist.

Das bestätigt uns auch die Probe:

$x(-2x) = -2x^2 = -2x^2 + 2(x^2 + 3) = 6 = 1$.

Mister

Comments

Okay, hab also soweit richtig gerechnet und mich nur bei einem Schritt knapp verrechnet :D.

Und zwar:

Anstatt bx-3a habe ich bx+2a hingeschrieben ... Ich sollte mal weniger schmieren ...

Vielen Dank, jetzt weiß ich Bescheid :).

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Bitte, bitte.

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Jetzt hätte ich doch noch eine Frage ... Wie kommt man von - (1/3) auf -2?

Ich dachte man rechnet einfach -3a = 1 dann mod 5 und es kommt aber 2a = 1 raus, sprich, das Zielpolynom müsste doch eigentlich 2 sein und nicht -2? Oder irre ich mich? Ich verstehe nicht woher die -2 kommt.

Würde die Probe dann nicht einfach so aussehen?

x(2x) = 2x² = 2x²-2(x²+3) = 6 = 1, somit würde es auch wieder stimmen?

Ich bin mir sogar sehr sicher, dass es 2 sein muss und nicht -2 :D. Wobei natürlich beides am Ende stimmt.

für deine Hilfe :).

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Es ist $2x^2 - 2(x^2 + 3) = -6 = -1$. Daher ist $2x$ kein weiteres Inverses von $x$, was auch nicht ginge, da das Inverse eindeutig ist.

Dass $-\frac{1}{3} = -2$ ist, sieht man direkt durch Multiplikation mit $-3$:

$1 = (-3)(-2)$.

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Hm, ja das klingt sehr einleuchtend. Ich verstehe das nun auch, allerdings dachte ich davor, dass man zuerst -3a mod 5 rechnen muss, das würde ja 2a ergeben bzw. a = 2

Deswegen hat mich das so irritiert.

Danke dir nochmal :).

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Bitteschön.

Also $2a = 1$ würde ja $a = 3$ ergeben. Und weil $3 = -2$ ist, stimmt diese Rechnung auch.

Es ist übrigens $-\frac{1}{3} = 3$, wie man durch Multiplikation mit $3$ sieht:

$-1 = 3 \cdot 3$.

So, genug verwirrt? :)