multiplikativ Inverse des Polynoms

Question

Ich hänge mal wieder an einer Aufgabe fest in der ich die multiplikativ Inverse des Polynoms x in Z5 mod x^2+3

ausrechnen soll.

Soweit ich das nun richtig verstehe muss ich folgende gewünschte Form anwenden: ax+b

Und folgendes ausrechnen x(ax+b) = ax^2 + bx

ax^2 + bx : x^2+3 = a

Wenn ich das nun berechne kommt bei mir raus:

bx + 2a

Das bedeutet dann, dass b = 0?

Und 2a = 1  | mod 5

Ergibt dann 2 = 1

Ist das nun richtig oder habe ich mich verrechnet bzw. habe ich den falschen Ansatz?

Answer 1

du willst in \( \mathbb{Z}_5[x] \) das Inverse von \( x \) modulo \( x^2 + 3 \) ausrechnen?

Dann brauchst du einen Ansatz \( ax + b \), den du mit \( x \) multiplizierst (wie du es ja schon gemacht hast):

\( x(ax + b) = ax^2 + bx \).

Die rechte Seite geht modulo \( x^2 + 3 \) in

\( ax^2 + bx - a(x^2 + 3) = bx - 3a \)

über. Da \( bx - 3a \stackrel{!}{=} 1 \) sein soll, muss \( b = 0 \) und \( a = -\frac{1}{3} = -2 \) sein.

Daraus folgt dein Zielpolynom \( -2x \), das das Inverse zu \( x \) in \( \mathbb{Z}_5[x] \) modulo \( x^2 + 3 \) ist.

Das bestätigt uns auch die Probe:

\( x(-2x) = -2x^2 = -2x^2 + 2(x^2 + 3) = 6 = 1 \).

Mister

Comments

Okay, hab also soweit richtig gerechnet und mich nur bei einem Schritt knapp verrechnet :D.

Und zwar:

Anstatt bx-3a habe ich bx+2a hingeschrieben ... Ich sollte mal weniger schmieren ...

Vielen Dank, jetzt weiß ich Bescheid :).

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Bitte, bitte.

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Jetzt hätte ich doch noch eine Frage ... Wie kommt man von - (1/3) auf -2?

Ich dachte man rechnet einfach -3a = 1 dann mod 5 und es kommt aber 2a = 1 raus, sprich, das Zielpolynom müsste doch eigentlich 2 sein und nicht -2? Oder irre ich mich? Ich verstehe nicht woher die -2 kommt.

Würde die Probe dann nicht einfach so aussehen?

x(2x) = 2x² = 2x²-2(x²+3) = 6 = 1, somit würde es auch wieder stimmen?

Ich bin mir sogar sehr sicher, dass es 2 sein muss und nicht -2 :D. Wobei natürlich beides am Ende stimmt.

für deine Hilfe :).

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Es ist \( 2x^2 - 2(x^2 + 3) = -6 = -1 \). Daher ist \(2x \) kein weiteres Inverses von \( x \), was auch nicht ginge, da das Inverse eindeutig ist.

Dass \( -\frac{1}{3} = -2 \) ist, sieht man direkt durch Multiplikation mit \( -3 \):

\( 1 = (-3)(-2) \).

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Hm, ja das klingt sehr einleuchtend. Ich verstehe das nun auch, allerdings dachte ich davor, dass man zuerst -3a mod 5 rechnen muss, das würde ja 2a ergeben bzw. a = 2

Deswegen hat mich das so irritiert.

Danke dir nochmal :).

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Bitteschön.

Also \( 2a = 1 \) würde ja \( a = 3 \) ergeben. Und weil \( 3 = -2 \) ist, stimmt diese Rechnung auch.

Es ist übrigens \( -\frac{1}{3} = 3 \), wie man durch Multiplikation mit \( 3 \) sieht:

\( -1 = 3 \cdot 3 \).

So, genug verwirrt? :)