ich soll zeigen,dass f(z)=sin(z) (z Element C) auf dem Intervall (-1/2*PI,1/2PI)+ i*R invertierbar ist.
Reicht es, zu sagen, dass f'(z)= cos(z) ist. f(z) ist somit holomorph und f'(z) ist stetig.
f'(z) ist auf dem Intervall ungleich 0. Damit wäre f(z) invertierbar.
Bei der letzten Aussage bin ich mir sicher, dass man das irgendwie zeigen muss, also dass cos(x+iy) keine Nullstellen in dem Intervall hat.
Kann ich das so machen?:
cos(x+iy) = cos(x)*cosh(y) + i * sin(x)*sinh(y)
Mit x,y Element R.
Das wird gleich 0,wenn Real und Imaginärteil gleich 0 werden.
Realteil wird 0 wenn, cos(x) = 0 und das ist -1/2*PI,1/2PI (restlichen nicht wichtig für unser Intervall)
Imaginärteil wird 0,wenn sin(x) = 0 oder sinh(y)=0 . Ersteres ist Fall bei y=0 (Rest liegt nicht im Intervall,dass betrachtet werden soll ). Das Zweite gilt auch nur für y = 0.
Kombinieren wir das, so gibt es Nullstellen bei (-1/2*PI, 0 ) (1/2*PI, 0 ) .
Ist das so richtig?
