Also da fehlt kein Summand, zumindest nicht in der endgültigen Lösung.
Ob man sowas sieht? Also ich kann nur sagen, dass man an der Stelle $$\int \sqrt{1+ \left( \frac{x}{2}-\frac{1}{2x} \right)^2}dx$$ eigentlich zuerst einmal ausmultipliziert, alles auf denselben Nenner bringt und schaut, was rauskommt. Dass sich später bei $$ \int \sqrt{ \frac{x^4+2x^2+1}{4x^2}}dx$$ eine binomische Formel im Zähler befindet, sieht man eigentlich auch.
Also klar, ich kenne das selbst, dass ich früher dachte, dass man sowas alles doch nicht "sehen" kann. Wenn man sich allerdings die Schritte gut anguckt und noch ein paar ähnliche Aufgaben löst, wird sich das "sehen" von ganz alleine einstellen. :P Dann entwickelt sich auch ein Gefühl dafür, welcher Ansatz wohl der vielversprechendste beim Lösen von Integralen ist.