Bogenlänge berechnen (Problem beim Integrieren)

Question

Berechnen Sie die Länge der Kurve

\( \vec{r}(t)=\left(\begin{array}{c}\frac{2}{3}(t-2)^{3 / 2} \\ 4 \sqrt{t+2}\end{array}\right) \) von \( t=2 \) bis \( t=7 \).

x´(t) = √(t-2)

y´(t) = 2 / √(t+2)

(Integral von 2 bis 7) Bogenlänge L = ∫ √[ √(t-2)² + (2/√(t+2))² ] dt  =  ∫ √[ (t-2) + (4/(t+2) ] dt

Soweit richtig? Wie integriere ich nun das da am Ende?

Answer 1

Nun, bis dahin ist alles richtig.

Nun kann man aber noch ein wenig vereinfachen (Ich betrachte nur den Integranden):

√ [ ( t - 2 ) + ( 4 / ( t + 2 ) ]

Den ersten Summanden mit ( t + 2 ) erweitern

= √ [ ( t - 2 ) ( t + 2 ) / ( t + 2 ) + (4 / ( t + 2 ) ]

= √ [ ( ( t ² - 4 ) + 4 ) / ( t + 2 )  ]

= √ [  t ²  / ( t + 2 )  ]

Kommst du damit nun weiter?

Comments

Das würde ich jetzt partiell Integrieren. Also u=t^2 und v=1/(t+2)

 

Zweimal das u ableiten, damit nur noch die Konstante 2 da stehen bleibt. 

 

Komme am Ende dann auf: 

 

[ t²/(t+2) ] - [ 2t/(t+2) ] + 2ln(t+2) 

 

richtig?