Untersuche das Polynom x^2+x+1 auf Irreduzibilität über Z3

Question

Wie schon im Fragetitel erwähnt soll man das Polynom x^2+x+1 auf Irreduzibilität über Z3 untersuchen.

Wobei ein Polynom irreduzibel ist, wenn es nicht als Produkt zweier Polynome kleineren Grades darstellbar ist.

Da es ein Polynom zweites Grades ist habe ich nach Nullstellen gesucht:

Wenn ich 1 für x einsetze kommt bei mir 3=0mod3 heraus. Was ja bedeutet dass dieses Polynom über Z3 reduzibel ist, oder?

Nun zu meiner eigentliche Frage, wie finde ich nun das kleinere Polynom, in welches man das gegebene zerlegen kann?

Ich hätte sozusagen gerne eine Art von Gegenprobe um sicher zu gehen, dass meine Rechnung stimmt!

LG

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Was spricht denn gegen Polynomdivision? (wie sonst auch)

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Man kann auch schnell alle Möglichkeiten durchprobieren (über \(\mathbb{Z}_3\) sind das ja nicht allzu viele):
Das gesuchte Polynom muss Grad 1 und Leitkoefizient 1 haben. Die möglichen Kandidaten sind also \(x, x+1\) und \(x+2\).

Answer 1

Da es ein Polynom zweites Grades ist habe ich nach Nullstellen gesucht:

Wenn ich 1 für x einsetze kommt bei mir 3=0 mod 3 heraus. Was ja bedeutet dass dieses Polynom über Z3 reduzibel ist, oder?

Ja, wenn \(x=1\) eine Nullstelle ist, dann ist \((x-1)\) eines der Polynome, in die \((x^2+x+1)\) zerlegt werden kann. Also ist es nicht irreduzibel.

Nun zu meiner eigentliche Frage, wie finde ich nun das kleinere Polynom, in welches man das gegebene zerlegen kann?

Ich nehme an, Du suchst das andere Polynom, eins kennen wir ja schon. Da gibt es sicher viele Möglichkeiten, dieses zu bestimmen, so könnte man etwa noch die andere Nullstelle bestimmen, Polynomdivision wurde schon vorgeschlagen, Satz von Vieta geht natürlich auch usw.

Ich würde es, ohne die Erkenntnis über die Nullstelle zu nutzen, so machen:
\(x^2+x+1 = x^2-2\cdot x+1 =(x-1)^2\)

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Vielen Dank für die schnellen & vielen Antworten! :)

Hat mir sehr geholfen!