Polynom bestimmen(Aufgabe)

Question

Aufgabe:

Für die Fließgrenze F (in 100kg/cm²) eines kohlenstoffarmen Stahles in Abhängigkeit
von der Temperatur T (in 100 C) ergibt ein Versuch folgende Tabelle:

T	1	2	3	4	5	6
F	30	27	25	24	21	19

Zu bestimmen ist ein Polynom $$p(x) = \sum \limits_{n=0}^{4}a_k x^{k}$$

Problem/Mein Ansatz:

30x¹  + 27x² + 25x³ + 24x⁴ + 21x⁵ + 19x⁵

bzw. muss man vermutlich mit 30x^0 anfangen

Ich komme da leider nicht weiter...

Comments

Bist du sicher, dass die Summe von \(n=0\) bis \(4\) läuft? Dann hättest du nämlich 6 Gleichungen, aber nur 5 Unbekannte. Das Polynom würde dann nur durch Zufall durch alle 6 Punkte laufen.

Wenn die Aufgabe so korrekt gestellt ist, musst du eine Regressions-Kurve 4-ter Ordnung an die Messpunkte anpassen. Da das etwas viel Fummelei ist, frage ich lieber mal vorher nach.

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Sry, müsste eig. k= 0 heißen...

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Ich bin kein Stahlkocher, doch wenn ich koche möchte ich schon gerne wissen, wie meine Zutaten zusammen passen.

Unter T und F kann ich mir jetzt etwas vorstellen, k_i sind die gesuchten Koeffizienten, doch was ist p und x, darüber gibt es keine Information. In welcher Beziehung stehen sie zu T und F.

Wenn es etwas mit den Differenzen zu tun hat, dann hätten wir auch keine Überbestimmung mehr.

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Das gehört auch noch zur Aufgabe : Zu bestimmen ist ein Polynom "" "" mit mit p(T_i)=  F_i , 0≤ i ≤ 4

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@Tschakabumba Als Lösung steht: p(x) = 30 - 3(x-1) + 1/2 (x-1)(x-2) - 1/8(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)

Wie kommt man genau darauf?

Und ja, diese verläuft von 0 bis 4.

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Als Lösung steht: p(x) = 30 - 3(x-1) + 1/2 (x-1)(x-2) - 1/8(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)

das sieht so aus:

~plot~ 30-3(x-1)+1/2(x-1)(x-2)-1/8(x-1)(x-2)(x-3)(x-4);{1|30};{2|27};{3|25};{4|24};{5|21};{6|19};[[-0.5|7|-1|40]] ~plot~

Die "Lösung" trifft erwartungsgemäß den 6.Punkt nicht.

Answer 1

Das n unter dem Summenzeichen ist vermutlich ein k.

Der Ansatz lautet dann f(x)=a₀x⁰  +a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴.

Da ein Punkt mehr gegeben ist, als zu Aufstellung von 5 Gleichungen mit 5 Variablen notwendig, kann man im weiteren Verlauf eine Regression machen.

Comments

Und was stimmt mit meinem Ansatz nicht?

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k soll nur bis 4 gehen. Die Zahlen aus der Wertetabelle werden für x und f(x) eingesetzt und nicht für a₀ bis a₄..

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1 | 30 ist a0?

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Nein. (1|30) erzeugt die Gleichung 30=1·a₀+1·a₁+1·a₂+1·a₃+1·a₄. Und so erzeugt man 4 weitere Gleichungen aus 4 weiteren Wertepaaren. Leider ist ein Wertepaar zu viel in der Tabelle, sodass ein Punkt nicht auf dem gewonnenen Graphen liegen könnte. Daher vermute ich, dass man eine Regression durchführen soll.

Answer 2

Das macht z.B. der Befehl TrendPoly bei Geogebra

Damit kommt man auf

p(x) = 0.06x^4 - 0.96x^3 + 5.06x^2 - 12.63x + 38.5

~plot~ 1/16·x^4 - 23/24·x^3 + 81/16·x^2 - 1061/84·x + 77/2;{1|30};{2|27};{3|25};{4|24};{5|21};{6|19};[[0|7|0|40]] ~plot~

Comments

Und wie berechnet man diese rechnerisch?

Answer 3

Also eine Regression - siehe Mathe-Artikel

Einsetzen der Punkte (x_i,y_i) und Matrixgleichung dazu

A (a_i) = (y_l)

\(\scriptsize \left(\begin{array}{rrrrr}1&1&1&1&1\\16&8&4&2&1\\81&27&9&3&1\\256&64&16&4&1\\625&125&25&5&1\\1296&216&36&6&1\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{r}a_4\\a_3\\a_2\\a_1\\a_0\\\end{array}\right)= \left(\begin{array}{r}30\\27\\25\\24\\21\\19\\\end{array}\right)  \)

Normalengleichung A^T A (a_i) = A^T (y_i)

\( \scriptsize   \left(\begin{array}{rrrrr}2142595&376761&67171&12201&2275\\376761&67171&12201&2275&441\\67171&12201&2275&441&91\\12201&2275&441&91&21\\2275&441&91&21&6\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{r}a_4\\a_3\\a_2\\a_1\\a_0\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}46380\\9186\\1956\\474\\146\\\end{array}\right) \)

löse dieses LGS

Comments

Wie kommt man von der Matrix zur Normalengleichung und in welcher Reihenfolge muss man die Matrizen rechnen(da zuerst a4 etc. kommt).

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Wie müsste man vorgehen, wenn die Lösung

p(x) = 30 - 3(x-1) + 1/2 (x-1)(x-2) - 1/8(x-1)(x-2)(x-3)

Wie kommt man darauf und vor allem auf die jeweiligen Zahlenwerte vor der Klammer?

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die formel der normalengleichung hab ich angegeben . von welcher reihenfolge spricht du? den hintergrund zu den gleichungen kannst du in dem mathe artikel nachlesen oder siehe

https://www.geogebra.org/m/YjjE9nwR

p(x) hat den grad 3 du hast die aufgabe für grad 4 formuliert. wo kommt p(x) her. soll p(x) diese aufgabe  erfüllen? dann streiche in A die erste spalte und a4.

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p(x) = 30 - 3(x-1) + 1/2 (x-1)(x-2) - 1/8(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) *

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Berechne

\(\small \left\{ p\left(1 \right), p\left(2 \right), p\left(3 \right), p\left(4 \right), p\left(5 \right), p\left(6 \right) \right\} \)

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Wo soll ich das denn einsetzen(falls du damit die Werte 30, 3, 1/2,1/8) meinst)?

Denn p(x) stellt ja schon die Lösung da.

meinst du p(x) = ax^4 +a x^3 + ax^2 + ax + b

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Wie müsste man vorgehen, wenn die Lösung
p(x) = 30 - 3(x-1) + 1/2 (x-1)(x-2) - 1/8(x-1)(x-2)(x-3)
Wie kommt man darauf und vor allem auf die jeweiligen Zahlenwerte vor der Klammer?

Dieser Ansatz ist die Polynom-Interpolation nach Newton. Welches für die ersten drei plus dem fünften Punkt aus Deiner Tabelle durchgeführt wurde. Die Zahlenwerte in den Klammern sind die Nullstellen der jeweils addierten Polynome. Sie sind identisch mit den vorausgegengenen Stützstellen.

Z.B. für das letzte \(p_4(x)= - \frac 18 (x-1)(x-2)(x-3)\):

~plot~  30-3*(x-1)+(x-1)(x-2)/2;[[-1|8|-5|40]];{1|30};{2|27};{3|25};{5|21};-(x-1)(x-2)(x-3)/8;x=5 ~plot~

Das quadratische Polynom läuft durch die ersten drei Punkte. Das Polynom \(p_4\) hat dort seine Nullstellen. Somit kann es zum vorhergehenden Polynom addiert werden, ohne die drei ersten Stützstellen zu verändert und enthält das Delta zur 5.Stützstelle.

Wo soll ich das denn einsetzen

wächter meint seine Lösung eines Polynoms 4.Ordnung, welches er aus der Normalengleichung berechnet hat. Im Allgemeinen kannst Du kein Polynom 4.Ordnung genau durch 6. Punkte legen, da dort nur 5 Freiheitsgrade vorhanden sind. Man kann es aber mit der Normalengleichung 'mitteln'.

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Krieg leider was anderes raus :/

Kannst du mir da bitte helfen?

y₀ = a₀ => a₀ = 30

y₁ = a₀ + a₁(x₁-x₀)

=> 27 = 30 + a₁(2-1)

   27 = 30 + a₁  

  a₁ = -3

y₂ = a₀ + a₁(x₁-x₀) + a₂(x₂-x₀)(x₂-x₁)

=>  25 = 30 + (-3)(2-1) + a₂(3-1)(3-2)

     25 = 30 -3 + 2a₂

     25 = 27 + 2a₂

     -2 = 2a₂

     a₂ = -1

y₃ = a₀ + a₁(x₁-x₀) + a₂(x₂-x₀)(x₂-x₁)+ a3(x₃-x₀)(x₃-x₂)(x₃-x₁)

24 = 30 + (-3)*1 + (-1)*2+ a₃(4-1)(4-3)(4-2)

24 = 30 -3 -2 + a₃ * 3 * 1 * 2

24 = 25 + 6a₃

-1 = 6a₃

a₃ =  -1/6

y₄ = a₀ + a₁(x₁-x₀)+a₂(x₂-x₀)(x₂-x₁)+a₃(x₃-x₀)(x₃-x₂)(x₃-x₁)+a₄(x₄-x0)(x₄-x₃)(x₄-x₂)(x_4-x₁)

=> 21 = 30-3-2-1+ a4(5-1)(5-4)(5-3)(5-2)

21 = 24 + a₄ * 4 * 1 * 2 * 3

21 = 24 + 24a₄

-3 = 24a₄

a₄ = -3/24 = -1/8

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Geht natürlich auch an alle anderen.

Wisst ihr, was ich falsch gemacht habe?

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Wisst ihr, was ich falsch gemacht habe?

Bei der Rechnung zu \(a_2\) ist ein Fehler drin. Es soll der Punkt \((3;\, 25)\) hinzugefügt werden.

y2 = a0 + a1(x1-x0) + a2(x2-x0)(x2-x1)

das ist schon falsch. Die freie Variable \(x\) ist immer das erste \(x\) in der Differenz. Allgemein ist$$y(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1)$$Und an der Stelle \(x_2\) ist$$\begin{aligned} y(\color{red}x_2\color{black}) &= a_0 + a_1(\color{red}x_2\color{black}-x_0) + a_2(\color{red}x_2\color{black}-x_0)(\color{red}x_2\color{black}-x_1) \\ 25 &= 30 + (-3)(3-1) + a_2(3-1)(3-2) \\ 25 &= 24 + 2a_2 \\ \implies a_2 &= \frac 12\end{aligned}$$Plotlux bringt es an den Tag:

~plot~ 30-3(x-1)+(1/2)(x-1)(x-2);30-3(x-1);30;{1|30};{2|27};{3|25};{4|24};{5|21};{6|19};[[-0.5|7|-1|40]] ~plot~

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Wisst ihr, was ich falsch gemacht habe?

Das eigentliche Problem (für die, die versuchen Dir zu helfen!!) liegt aber darin, dass nach wie vor unklar ist, vor welcher Problemstellung Du sitzt!

Die Frage, die Du gestellt hast, läuft auf ein sogenanntes Ausgleichproblem hinaus. Du suchst ein Polynom 4'ten Grades (in Worten "VIER") und sollst dies 'irgendwie' durch sechs (in Worten "SECHS") Punkte legen. Das ist i.A. ein Punkt zuviel, um jeden der Punkte exakt zu treffen; daher 'Ausgleichproblem'.

Deshalb hat bisher jeder auch mit einer Lösung geantwortet, die ein Ausgleichproblem enthält. Das ist der sogenannte 'Best Fit', der allen Punkten möglichst nahe kommt, indem die Summe der Quadrate aller Abweichungen minimiert wird.

Du strebst aber ohne jede Reaktion auf die dargestellten Lösungen (!?) eine Polynominterpolation an. Die Lösung wäre dann ein Polynom 5'ten Grades - in Worten "FÜNF".

Was willst Du jetzt genau??

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Eine Polynominterpolation will ich.

Laut Lösungen weicht das Polynom beim 6 Messwert erheblich ab..

Heißt das, dass man die dann einfach nicht berücksichtigen sollte?

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p(x) = 30 - 3(x-1) + 1/2 (x-1)(x-2) - 1/8(x-1)(x-2)(x-3) (Lösung)

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Eine Polynominterpolation will ich

dann solltest Du das auch in der Aufgabenstellung mit angeben!! Ist Dir noch nicht aufgefallen, dass Du nur Lösungen für Ausgleichprobleme bekommen hast?

Laut Lösungen weicht das Polynom beim 6 Messwert erheblich ab..
Heißt das, dass man die dann einfach nicht berücksichtigen sollte?

.. das musst Du doch besser wissen! Warum sollte man einen der Messwerte nicht berücksichtigen?

p(x) = 30 - 3(x-1) + 1/2 (x-1)(x-2) - 1/8(x-1)(x-2)(x-3) (Lösung)

Lösung für welches Problem? Schau Dir mal den Graphen an:

~plot~ 30 - 3(x-1) + 1/2 (x-1)(x-2) - 1/8(x-1)(x-2)(x-3);{1|30};{2|27};{3|25};{4|24};{5|21};{6|19};[[-0,5|7|-1|40]] ~plot~

Die Punkte 4 und 6 werden nicht erreicht.

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Tut mir leid.. Ist mir auch später aufgefallen ... sry....

Merkt man auch rechnerisch, ob das passt oder nicht?

Also fällt das dann auf?

Und kannst du mir bitte helfen den Fehler da zu finden:

y(x) = a₀ + a1(x-x₀) + a₂(x-x₀)(x-x₁)+ a₃(x-x₀)(x-x₁)(x-x₂)

y(x₃) = a₀ + a₁(x₃-x₀) + a₂(x₃-x₀)(x₃-x₁)+ a₃(x₃-x₀)(x₃-x₁)(x₃-x₂)

=>  24 = 30 + (-3)(4-1) + 1/2(4-1)(4-2) + a₃ (4-1)(4-2)(4-3)

    24 = 30 - 9 + 3 + a₃ * 3 * 2 * 1

   24 = 24 + 6a₃    

6a₃ = 0 = > a₃ = 0

  

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Merkt man auch rechnerisch, ob das passt oder nicht?
Also fällt das dann auf?

natürlich 'merkt' man das. Du brauchst doch nur die x-Werte an den Stützstellen in das Polynom \(p(x)\) einsetzen. Dann sieht man doch sofort, ob es passt.

Und kannst du mir bitte helfen den Fehler da zu finden:

Da ist kein Fehler. \(a_3=0\) ist korrekt. Wenn Du nun nach \(a_4\) suchst, so musst Du aber trotzdem diese Stelle 'mitnehmen' - also wäre der nächste Schritt: $$y(x_4=5) = 30 - 3(5-1) +\frac 12(5-1)(5-2) + a_4(5-1)(5-2)(\color{red}5-3\color{black})(5-4)$$Im anderen Fall würdest Du ja die Stützstelle \((x_3;\, y_3)\) wieder ändern.

Dieser Fehler ist anscheinend bei Deiner "Lösung" passiert. Siehe mein Kommentar vom 12.12. Ich schrieb:

Dieser Ansatz ist die Polynom-Interpolation nach Newton. Welches für die ersten drei plus dem fünften Punkt aus Deiner Tabelle durchgeführt wurde.

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Heißt das, dass man bei \(p_4(x)= - \frac 18 (x-1)(x-2)(x-3)\)       (x-4) weglässt, nur weil a₃ = 0 ist?

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Ich verstehe nicht, wie Du auf diese Frage kommst. Ich habe doch das \((x-4)\) nicht weggelassen! Kann es sein, dass Du mit Deinem Handy arbeitest und das \((5-4)\) ist nicht mehr zu sehen!?

Wisch den Formelausdruck mal nach links!

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Tipp: versuche mal, das Newtonsche Interpolationsverfahren auch zu verstehen! Dann ist das, was ich hier geschrieben habe, auch völlig logisch.

Lese dazu auch meinen Kommentar vom 12.12. noch mal. Dort habe ich das Newtonsche Interpolationsverfahren zum ersten mal erwähnt und versucht, Dir zumindest den Ansatz zu erklären.

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Ich beziehe mich auf die Lösung: p(x) = 30 - 3(x-1) + 1/2 (x-1)(x-2) - 1/8(x-1)(x-2)(x-3)

Aber ich bin erleichtert dass du es genauso siehst, dass auch bei der Lösung ein (x-4) dazugehört.

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p(x) = 30 - 3(x-1) + 1/2 (x-1)(x-2) - 1/8(x-1)(x-2)(x-3)

müsste das nicht eig dann p(x) = 30 - 3(x-1) + 1/2 (x-1)(x-2) - 1/8(x-1)(x-2)(x-3) (x-4) heißen?

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müsste das nicht eig dann p(x) = 30 - 3(x-1) + 1/2 (x-1)(x-2) - 1/8(x-1)(x-2)(x-3) (x-4) heißen?

Denke selber nach! Oben hattest Du selbst schon gezeigt, dass \(a_3=0\) ist. Um das \(a_4\) zu bestimmen wäre der zusätzliche Term $$\dots + a_4(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$$was denn sonst? Denn nur dieser Term garantiert uns mit seinen vier Nullstellen, dass wir die vier vorhergehenden Punkte nicht 'verlieren', wenn wir den Term hinzu addieren.

Und wenn Du auch noch meinen Kommentar von gestern gelesen hättest, den ich unter Deine Antwort gesetzt hatte (s.o.), dann wüsstest Du, dass das \(p(x)\) hier durch fünf der sechs Punkte verläuft. Dort habe ich auch den Graphen zu diesem \(p(x)\)  mit \((x-4)\) gezeigt!

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Ich habe ja so gerechnet und das Ergebnis ermittelt..

Ich meinte genau andersherum, dass in den Lösungen das (x-4) fehlt, wobei es ja bei der Rechnung natürlich benutzt wurde.

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Na ja - dann ist ja gut. Wenn Du nun noch den 6. Punkt berücksichtigst, bzw. das \(a_5\) berechnest, dann hast Du ein Polynom 6.Ordung, welches durch alle sechs Punkte verläuft.