Irreduzibilität des Polynoms x^2 +3 untersuchen: 1.) über Q 2.) über Z5

Question

ich habe bis Morgen noch eine Aufgabe wo ich mir nicht sicher bin ob das einfach so stimmt.

Aufgabe:

Man untersuche das Polynom x^2+3 auf Irreduzibilität.

1.) über Q
2.) über Z5

1.)

Irreduzibel heißt ein Polynom wenn es nicht als Produkt zweier Polynome kleineren Grades dargestellt werden kann.

Wäre x^2 +3 reduzibel müsste doch folgendes gelten

(x-x1)*(x-x2) = x^2 - (x1+x2) * x + x1x2

wenn man das mit der Angabe vergleicht müsste x1,x2 für

(x1+x2) 0 sein und für x1*x2 = 3 sein. das geht nicht --> Widerspruch also Irreduzibel

2.)

hier würde ich einfach nur die Zahlen 0-5 in die Formel einsetzen. Es kommt nirgendss = 5 = 0mod5 raus also ist es auch Irreduzibel.

Ist es wirklich so einfach oder mache ich etwas grundlegendes falsch? Würde mich über Antworten sehr sehr freuen!
danke

Answer 1

(x1+x2)=0 sein und für x1*x2 = 3 sein.

==> x1 = -x2

in die andere Gleichung einsetzen

-x2*x2= -(x2)^2 = 3 

das geht nicht (negative Zahl ist nicht positive Zahl) --> Widerspruch also Irreduzibel

Den Rest hätte ich auch so gemacht.