Nutzenoptimum berechnen - Wie hoch ist die Menge x2?

Question

Die Nutzerfunktion eines Individuums lautet U(x₁,x₂) = 40 * ln(x₁) + 50 * ln(x₂). Gegeben sind die Preise der beiden Güter p₁ = 1.5 und p₂ = 1 sowie das zur Verfügung stehende Einkommen in Höhe von I = 190. Optimieren Sie den Nutzen des Individuums unter Beachtung seiner Konsummöglichkeiten.

Wie hoch ist die Menge x₂ in diesem Nutzenoptimum? 

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Lagrange bekannt -probiert ??

Answer 1

Probier mal mit Lagrange. Hier auf der Seite gibt es Zahlreiche Aufgaben wo das vorgemacht worden ist.

Ich komme zur Kontrolle auf x1 = 56.30 und x2 = 105.56

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Ich habe es bereits mit dem Lagrange versucht, was mir jedoch Probleme bereitet ist das ln. Leider weiß ich nicht genau wie ich den aufheben muss, ansonsten wäre es keine schwere Aufgabe.

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Das LN fällt doch weg sobald du die Lagrange-Funktion ableitest. Du hast also eigentlich später denke ich nie mit einem LN zu tun.

Ich schau mal ob ich das irgendwie allgemein hin bekomme. Also ganz ohne Werte. Wo ein --> auftritt solltest du selber auflösen.

U(x, y) = a·LN(x) + b·LN(y)

Preis für x ist p ; Preis für y ist q ; Budget m

Nebenbedingung: p·x + q·y = m --> y = (m - p·x)/q

Lagrange Funktion: L = a·LN(x) + b·LN(y) - k·(p·x + q·y - m)

dL/dx = a/x - k·p = 0 --> k = a/(p·x)

dL/dy = b/y - k·q = 0

b/((m - p·x)/q) - (a/(p·x))·q = 0 --> x = a·m/(p·(a + b))

y = (m - p·x)/q

y = (m - p·(a·m/(p·(a + b))))/q = b·m/(q·(a + b))

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Das Nutzenmaximum ergibt sich also bei:

x = a·m/(p·(a + b))

y = b·m/(q·(a + b)) 

Ich habe hier mal die Parameter eingesetzt und komme auch auf die Kontroll-Lösung die mir Wolframalpha ausgerechnet hatte.

Answer 2

Die Nutzerfunktion eines Individuums lautet \(U(x_1,x_2) = 40 \cdot \ln(x_1) + 50 \cdot \ln(x_2)\). Gegeben sind die Preise der beiden Güter \(p_1 = 1.5\) und \(p_2 = 1\) sowie das zur Verfügung stehende Einkommen in Höhe von \(I = 190\). Optimieren Sie den Nutzen des Individuums unter Beachtung seiner Konsummöglichkeiten.
Wie hoch ist die Menge \(x_2\) in diesem Nutzenoptimum?

Zur Vereinfachung nehme ich x und y

\(U(x,y,λ) = 40 \cdot \ln(x) +50\ln(y)+λ(1,5x+y-190)\)

\(U_x(x,y,λ) = \frac{40}{x} +1,5λ\)

\(U_y(x,y,λ) =\frac{50}{y}+λ\)

\(U_λ(x,y,λ) = 1,5x+y-190\)

1.)\( \frac{40}{x} +1,5λ=0\)

2.) \(\frac{50}{y}+λ=0\) → 2.) \(λ=-\frac{50}{y}\)

3.)\( 1,5x+y-190=0\)   →  3.)  \(y=-1,5x+190\)  in A) eisetzen

2.) in 1.) einsetzen:

A) \( \frac{40}{x} -\frac{75}{y}=0\)  → A) \( \frac{40}{x} -\frac{75}{-1,5x+190}=0\)

\(x_1≈56,3\)       \(x_2≈105,55\)