Goldener Schnitt Beweis Analysis

Question

Ich komme nicht mit den ersten Seiten des Königsbergers klar.

Es geht um folgende Seite:

2.3 Die Vollständigkeit von \( \mathbb{R} \)
Schon die Pythagoräer des 5. Jahrhunderts v. Chr. hatten erkannt, daß es auf jeder Strecke Punkte gibt, die diese in keinem ganzzahligen Verhältnis teilen, zum Beispiel die Punkte des goldenen Schnittes. Ein Punkt \( P \) teilt eine Einheitsstrecke \( O E \) im goldenen Schnitt, wenn für die Längen \( h=\overline{O P} \) und \( 1-h=\overline{P E} \) gilt:

\( 1: h=h:(1-h) \)

Nach Satz 2 (siehe unten) gibt es genau eine reelle Zahl \( h>0 \) mit dieser Eigenschaft. Die zu ihr reziproke Zahl \( g:=h^{-1} \) heißt goldener Schnitt. Es gilt:

\( h^{2}=1-h, \quad g^{2}=1+g, \quad g=1+h \)

Konstruktion von \( h \) mit Zirkel und Lineal aufgrund von

\( \left(h+\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\frac{1}{4} \)

\( \overline{M E}=\frac{1}{2} \overline{O E}=\overline{M Q}, \quad \overline{O P}=\overline{O Q} \)

Wie kommt man denn auf die Gleichung g²=1+g

Müsste es denn nicht g²=1-g heißen?

Answer 1

verstehst du woher die Gleichung

$$ g = 1+h $$

herkommt? Wenn ja dann mutipliziere mal beide Seiten der Gleichung mit \(g\).

Gruß

Comments

Nein, nicht so wirklich....

Muss man einfach da eine Termumformung machen, oder hat es sich auch etwas mit der Abbildung auf sich?

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Ich hab es doch noch geschafft (mit der 3.Bin. Formel!) Yeah! Cooles Gefühl!

Jedenfalls vielen Dank für den ziemlich hilfreichen Tipp!

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Kein Thema. Zu der vorigen Frage:

Es ist ja \( g = \frac{h}{1-h} \) und \(gh = 1 \)nach Definition und somit:

\( g(1-h) = h \)

\(g-gh = h \)

\(g - 1 = h \)

\( g = h+1\)

Daher diese Gleichung. Wenn du beide Seiten mit \(g\) multiplizierst:

\( g^2 = gh+g = 1+g \)

Ohne Binomi ;)

Wenn dich das Thema interessiert schau dir mal Aufgabe 3.7 aus dem Königsberger an.