Aufgabe:
Gegeben sei der Vektorraum
\( V=\left\{\left(\begin{array}{ll} a & b \\ 0 & c \end{array}\right) \mid a, b, c \in \mathbb{R}\right\} \)
mit den Basen
\( \mathcal{B}_{1}=\left\{\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 2 & 2 \\ 0 & 2 \end{array}\right)\right\}, \quad \mathcal{B}_{2}=\left\{\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\right\} \)
Ansatz/Problem:
Ich würde gerne die Koordinatenabbildung KB2 bestimmen.
KB2: R2,2 → R3; $$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\mapsto \begin{matrix} { \alpha }_{ 1 } \\ { \alpha }_{ 2 } \\ { \alpha }_{ 3 } \end{matrix} $$
$$ { \alpha }_{ 1 }\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+{ \alpha }_{ 2 }\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}+{ \alpha }_{ 3 }\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} $$ Ich komme bei dem Gleichungssystem einfach auf keine gescheite Lösung.