Lineares Gleichungssystem lösen mit Parameter

Question

brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:

Gegeben ist das parameterabhängige reelle, lineare Gleichungssystem Ax=b

2   -4      6           | 20

A=   3   2a-6  7a+10   | 32                             (a e R)

2     -2        10     | 14

Jetzt soll man folgendes bestimmen:

- Für welches a besitzt das System eine eindeutige Lösung?

- Für welche a besitzt das System unendliche viele Lösungen? Lösungsmenge angeben.

- Für welche a besitzt das System keine Lösung?

Habe erst mal das LGS gelöst

.......

1    -2       3       | 10

0   4a    14a+2  | 4

0    0      1         | 2

Somit:    x3=2

x2´=-7a

x1= 4-14a

Dann wäre doch schon mal die Lösungsmenge für Frage 2:

L((4, 0, 2)+a(-14, -7, 0)|aeR) oder?

Bei Frage 1 hätte ich a=0 genommen und hätte somit

L((4, 0, 2))

Für Frage 3 hab ich kein Ansatz,

hätte vllt, die 2 Gleichung 0 gesetzt, d.h.

4a(-7a) + (14a+2)*2=0   und dann nach a aufgelöst sodass die 2.Gleichung für diese zwei a Werte eine unwahre Lösung gibt und somit insg keine Lösung

Mach ich das so richtig oder sind meine Ansätze falsch?

Comments

Wie kommst du auf die Lösungen? Bei meiner Rechnung würde sich das a immer rauskürzen.

z=2

-> 4ay+(14a+2)*2=4    |-(28a+4)

->4ay=-28a   |:4a

-> y=-7

und x = -10

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Oh stimmt, ok also ist meine eindeutige Lösung L(-10,-7,2), aber in der Frage steht für welches a bekomme ich eine eindeutige Lösung?, d.h. dann für alle a oder, da es sich ja rauskürzt?

und meine mehrdeutige Lösung für a=-1/3

Aber für welches a bekomme ich nun keine Lösung?

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Genau  und für c) es gibt kein a für das es nicht lösbar ist, da es immer lösbar ist. das a kürzt sich ja immer raus.

Answer 1

2·x - 4·y + 6·z = 20
2·x - 2·y + 10·z = 14
3·x + (2·a - 6)·y + (7·a + 10)·z = 32

II - I ; 2III - 3I

2·y + 4·z = -6
4·a·y + 14·a·z + 2·z = 4

II - 2aI

6·a·z + 2·z = 12·a + 4 --> z = 2·(3·a + 1)/(3·a + 1)

z frei wählbar für a = -1/3
z = 2 für alle anderen a

Dann kann ich noch x und y bestimmen.

[x = 4 - 7·z ∧ y = - 2·z - 3] für a = -1/3

[x = -10 ∧ y = -7 ∧ z = 2] für alle anderen a

Comments

Danke schon mal:)

Nur verstehe die Lösung noch nicht ganz. LGS hab ich ja gleich.

"z frei wählbar für a=-1/3"

Heißt das für a=-1/3 gibt es dann die mehrdeutige Lösung, da man eine Nullzeile somit bekommt?

Und was meinst du mit "z=2 für alle anderen a"?

Kann ich für eine eindeutige Lösung einfach irgendein a bestimmen?

Und wie bestimme ich ein a für das, das System keine Lösung bekommt?