Lineares Gleichungssystem mit Parameter a (Problem)

Question

Text erkannt:

3 Lineares Goleichungsystem
gesucht sind ake Zahten \( a \in \mathbb{R} \)
\( \begin{array}{l} \begin{aligned} x-y+z & =0 \\ a x+3 y+z & =0 \\ 3 x+a y+2 z & =0 \end{aligned} \quad\left(\begin{array}{ccc|c} x & y & z \\ 1 & -1 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 1 & 0 \\ 3 & a & 2 & 0 \end{array}\right) \text { Spalten vertauschen } \\ \operatorname{I}\left(\begin{array}{ccc|c} z & x & y \\ 1 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & a & 3 & 0 \\ 2 & 3 & a & 0 \end{array}\right) I-I \rightarrow\left(\begin{array}{ccc|c} z & x & y \\ 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & a-1 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & a & 0 \end{array}\right) \text { II }-2 I \\ \left(\begin{array}{ccc|c} z & x & y \\ 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & a-1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & a-2 & 0 \end{array}\right) \text { III } \cdot(a-1)-\text { II } \cdot 1\left(\begin{array}{ccc|c} z & x & y \\ 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & a-1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & a^{2}-3 a & 0 \end{array}\right) \\ y \cdot\left(a^{2}-3 a\right)=0 \\ \end{array} \)

Ich versuche hier auf alle Zahlen a zu kommen. Wenn ich die Dreiecksform probiere komme ich auf das unten aufgeführte Ergebnis. Ich hänge hierbei fest und weiß nicht genau wie ich nun weiter komme, wie komme ich auf das erste a bzw. wenn ich das gefunden habe, woher kommen dann weitere Zahlen a?

Answer 1

Die letzte handschriftliche Gleichung hat eine Lösung für y=0 oder für a=0 oder für a=3.

Comments

Habe ich das denn bis zum letzten Ausdruck richtig gelöst? Wenn ich von a=3 bzw. a=0 ausgehe, werden somit x,y,z auch 0. Liege ich da richtig?

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Die richtige Lösung ist x=0, y=0, z=0.

Answer 2

>gesucht sind ake Zahten \( a \in \mathbb{R} \)<

und welche Aussage soll für diese Zahlen getroffen werden?

Warum spaltentausch?

Ganz nach standard Gauß:

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}1&-1&1&0\\0&a + 3&-a + 1&0\\0&0&a - 2&0\\\end{array}\right)\)

Da steckt die Faktoren a, 1/(a-2), 1/(a-3) drinn.

Auf Deinem Rechenweg sollte kommen

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}1&1&-1&0\\0&a - 1&4&0\\0&0&\left(a - 2 \right) \; \left(a + 3 \right)&0\\\end{array}\right)\)