Lineares Gleichungssystem mit einem Parameter

Question

kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen?

Gesucht ist die Lösung für das folgende lineare Gleichungssystem:

2x₁+x₂+2x₃=5

3x₁+2x₂+3x₃=8

4x₁+3x₂+4x₃-t=1

a) Erklären Sie die Vorgehensweise.

Also da wurde nun der Parameter t auf die linke Seite gebracht und dann das LGS in die MAtrix des Gtr eingepflegt.

Nur was soll das gebracht haben?

b) Begründen Sie, dass das lineare Gleichungssystem für t = 10 lösbar ist.

c) Welche Lösungen hat das System für t≠10?

Ich erwarte nicht, dass jetzt die komplette Aufgabe gelöst wird, aber da ich überhaupt nicht weiß, wie ich daran gehen soll, wäre es nett, wenn mir jemand hilft.

Liebe Grüße

Answer 1

a) Erklären Sie die Vorgehensweise.

Ich kann hier gar kein Vorgehen und gar keine Vorgehensweise erkennen. Kann es sein, dass dazu einfach Sachen fehlen? Eventuell sollt ihr es einfach probieren mit dem Gtr zu lösen. Dazu kann man ja mal probieren es so in den Gtr einzugeben wie es vorgemacht ist. Eventuell spuckt dann der Gtr eine Lösung aus. Dafür kann man dann ja mal die Probe machen.

b) Begründen Sie, dass das lineare Gleichungssystem für t = 10 lösbar ist.

Du kannst ja einfach mal für t = 10 einsetzen und es probieren zu Lösen. Mach danach immer die Probe.

Nach einem bestimmten Benutzer hier dessen Name ich lieber nicht nennen will ist eh jede Gleichung lösbar. Im Zweifel über eine leere Lösungsmenge.

c) Welche Lösungen hat das System für t ≠ 10?

Jetzt lässt du t einfach als Parameter stehen und probierst es dann trotzdem zu lösen. Eventuell hilft dabei die weggelassene Vorgehensweise zu a)

Comments

Ja, es ist halt eine Abbildung gezeigt, wie das LGS mit dem Gtr gelöst wurde und ich habs auch selber mal gemacht. Damit ist dann die Vorgehensweise gemeint

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Nach einem bestimmten Benutzer hier dessen Name ich lieber nicht nennen will ist eh jede Gleichung lösbar. Im Zweifel über eine leere Lösungsmenge.

Du kannst die Spitzen wohl einfach nicht unterlassen :-)

Vorbildlicher Redakteur!

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Verstehst du denn warum es so Umgeformt wurde wie es Umgeformt wurde und warum man es so in den Gtr eingeben kann damit er es löst? Dann ist das bereits die Erklärung.

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Ja das habe ich verstanden

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Warum Spitzen? War es nicht genau das was du gestern gesagt hast.

Unter der Voraussetzung, dass du recht hast und ich dich richtig verstanden habe kann man doch ruhigen Gewissens empfehlen er kann wie folgt schreiben:

"Das lineare Gleichungssystem ist immer lösbar aber nicht immer erfüllbar. Im Zweifel gibt es eine leere Lösungsmenge."

Es sei denn ich habe etwas falsch verstanden. Wenn ja dann tut es mir leid.

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Du wirst doch wohl nicht ernsthaft erwarten, das ich diese Diskussion hier nochmal aufgreife.

Alle Antworten auf deine gerade gestellten Fragen findest du dort!

Im Übrigen würde es mir niemals einfallen, irgendwelche Anspielungen auf andere Personen in einem Antwortchat von mir zu geben, von denen ich annehmen muss, dass sie diesen Chat überhaupt nicht zur Kenntnis nehmen. Das verbietet mir mein Anstand.

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Nein. Ich gehe nicht ernsthaft davon aus, dass du die Diskussion aufgreifen möchtest. Ich will es auch nicht. Ich gehe davon aus dass ich dich gestern richtig verstanden habe. Und ich habe dir auch mitgeteilt was ich von der Meinung halte. Daher können wir beide unsere Meinung behalten und brauchen keine Diskussion führen.

b) Begründen Sie, dass das lineare Gleichungssystem für t = 10 lösbar ist.

Ich empfehle daher hier für t = 10 einzusetzen und zu zeigen, dass es mind. eine Lösung gibt, die das Gleichungssystem erfüllt.

Für t = 10 erhalte ich die Lösung: x + z = 2 ∧ y = 1

Für t ≠ 10 ist das Gleichungssystem nicht lösbar. Und damit meine ich, dass die Lösungsmenge leer ist.

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Bedeutet das dann, dass das Gleichungssystem lösbar ist, sobald man keine leere Menge erhält?, weil ich ja für x und z dann keine eindeutigen Lösungen habe?

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Bedeutet das dann, dass das Gleichungssystem lösbar ist, sobald man keine leere Menge erhält?

Zumindest sehe ich das so. Aber es gibt auch Leute die es anders sehen.

Lösbar heißt nach meiner Ansicht das es mind. eine Lösung gibt. In deinem Fall gibt es für t = 10 gleich unendlich viele Lösungen. Das langt aber um zu sagen, dass es lösbar ist.

Für mich ist ein Gleichungssystem nur dann nicht lösbar bzw. unlösbar, wenn es keine Zahlenbelegung der Variablen gibt. Die Lösungsmenge also leer ist.

Wie gesagt ist das meine persönliche Meinung und es gibt Meinungen die davon abweichen. Notfalls fragst du den Lehrer, Dozenten wie ihr die Lösbarkeit definiert habt. In der Regel solltet ihr das bereits definiert haben.

Answer 2

  Nachdem ich mich der Art chaotischen Antworten gegenüber sehe, stelle ich euch am besten mein systematisches Lösungsverfahren  Eigenbau Marke Habakuk vor. Schon schwerere Parameteraufgaben gelöst. Am Anfang steht immer die Regel

  " Allgemeine Lösung des  LGS = Sonderlösung + ===> Kern  des  LGS  .  "    (  1  )

   Fangen wir also erst mal an mit dem Kern .

   2  x1  +      x2  +  2  x3  =  0  |  :  x1        (  2a  )

  3  x1  +  2  x2  +  3  x3  =  0  |  :  x1        (  2b  )

 4  x1  +  3  x2  +  4  x3  =  0  |  :  x1        (  2c  )

  

    Genau dieses Divisionsverfahren ist mein Spezialtrick .  Da ja rechts Null steht, bleibt das GS trotz Division linear; und zwei Unbekannte gelten im Gegentum zu dreien als beherrschbar.  Ich setze noch

    X2  :=  x2 / x1  ;  X3  :=  x3 / x1     (  3  )

   Dann werden  ( 2a-c )  mit den nunmehr neuen Unbekannten ( 3 )

     X2  +  2  X3  =  (  -  2  )    |  *  2         (  4a  )

 2  X2  +  3  X3  =  (  -  3  )                    (  4b  )

 3  X2  +  4  X3  =  (  -  4  )                    (  4c  )

   Den Umformungsschritt in ( 4a ) habe ich wie üblich vermerkt . Das Subtraktionsverfahren ( 4a )  -  ( 4b ) führt auf X3  =  (  -  1  )

    (  4abc  )  ===>  X2  =  0         (  5a  )

    Damit haben wir den Kern

    Kern  =  (  1  |  0  |  -  1  )      (  5b  )

   An sich ist ja die Division durch x1 nur dann zulässig, wenn es keinen nicht trivialen Kernvektor mit x1 = 0 gibt. Doch hier können wir Entwarnung geben; setze x1 = 0 in ( 2a-c )  Dann ist beispielsweise die Determinante von ( 2ab ) ungleich Null .

   Und weil es so schön war. In deinem ursprünglichen inhomogenen LGS wiederhole ich gleich nochmal jenen Zaubertrick von ( 4a-c ) und entledige mich der Unbekannten x1 - wie das?  Erinnern wir uns; in ( 1 ) suchen wir ja nur noch eine Sonderlösung . Ich begründe jetzt folgenden Schritt:

   " Angenommen für ein beliebiges t gibt es überhaupt eine Lösung

            (  x1  |  x2  |  x3  )       (  6a  )

    Dann gibt es immer auch eine Lösung mit  x1  =  0  .  "

    Beweis  ;  siehe    (  5b  )

  (  x1  '  |  x2  '  |  x3  '  )  :=  (  x1  |  x2  |  x3  )  -  x1  *  Kern  =      (  6b  )

   =  (  0  |  x2  |  x1  +  x3  )    (  6c  )

    x2  +  2  x3  =  5           (  7a  )

2  x2  +  3  x3  =  8            (  7b  )

3  x2  +  4  x3  =  t  +  1    (  7c  )

  Mach dir bitte klar, dass die Koeffizientenmatrix  von ( 7a-c ) iNdentisch ist mit ( 4a-c )  Von Daher hast du die Umformungsschritte von ( 4ab )  1 : 1 übernehmen für ( 7ab )

    x3  =  2  ;  x2  =  1   (  8a  )

   Das genau ist der Trick; in ( 7c ) hast du ja keinen Spielraum mehr .  Eine Lösung kann ( 7c ) nur bbesitzen für  t  =  10  .

  <<  Ich ERWARTE  nicht, dass jetzt die komplette Aufgabe gelöst wird,

  <<  aber da ich überhaupt nicht weiß, wie ich daran gehen soll,

  <<  wäre es nett, wenn mir jemand hilft.

   Zu deinen sog.  ERWARTUNGEN .

  1)  Ich entstamme einem Welt-elektronikkonzern.  Da gab es Personal-Beurteilungsbögen, die als Grundlage für eine eventuell Gehaltserhöhung heran gezogen wurden. Die top Kategorie lautete jeden Falls

  " Die  ERWARTUNGEN  werden stets nennenswert  übertroffen. "

  ( Das stand freilich nur auf dem Papier, da die Chefs selbst redend von der Geschäftsleitung die Anweisung erhalten hatten, niemand bekommt eine Gehaltszulage. )

  2 ) Hättest du auch nur ein einziges Mal meine dies bezüglichen Referate zu  LGS  mit Parametern gelesen, wäre dir längst klar, dass ich hier völlig neue Standards eingeführt habe .

   Meine Definition von Arroganz:

   " Arroganz ist derjenige Hochmut, der sich aus profundem Sachwissen ergibt. "