Lineares Gleichungssystem Parameter bestimmen

Question

ich kann die Lösungen folgender Aufgabe nicht nachvollziehen. Es wäre super, wenn wir jemand den Rechenweg erklären würde. Die Allgemeine Vorgehensweise bzw. das Gauß-Verfahren sind bekannt.

Answer 1

Hallo neo,

der Übersicht wegen sind Z1 und Z2 vertauscht  und ich schreibe λ = a.

Mit dem Gauß-Algotithmus ergibt sich:

⎡     1        1   0   0 ⎤

⎢ (a - 1)²   1   a   0 ⎥

⎣     2        3   1   a ⎦

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⎡ 1         1         0    0  ⎤

⎢ 0    2·a - a²    a    0 ⎥       Z2  -  (a - 1)² * Z1

⎣ 0         1        1     a ⎦        Z3 - 2 * Z1

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⎡ 1      1                  0          0 ⎤

⎢ 0    2·a - a²            a         0 ⎥

⎣  0       0        (a-1)/(a-2)     a ⎦    Z3 -  1/(2·a - a² ) * Z2         ( a ∉ { 0 , 2} )

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Der Fall a = 2  ergibt bei der 2. Matrix:

⎡ 1  1  0  0 ⎤

⎢ 0  0  2  0 ⎥

⎣ 0  1  1  2 ⎦        und damit genau eine Lösung    ( siehe unten  a ∈ ℝ \ { 0, 1}  )

Für a = 0   ergibt die Ausgangsmatrix

⎡ 1  1  0  0 ⎤

⎢ 1  1  0  0 ⎥

⎣ 2  3  1  0 ⎦

2 identische Zeilen  →  man kann eine Unbekannte frei wählen und hat unendlich viele Lösungen:

wählt man z.B.  x₁ = t  dann ergibt sich aus  Z2   x₂ = - t   und aus Z3   2t - 3t  + x₃ = 0, also  x₃ = t

→   allgemeine Lösung   [ t, - t , t]^T

Für  a = 1   ergibt sich in Z3  der Endmatrix ein Widerspruch  →  keine Lösung

Für  a ∈ ℝ \ { 0, 1}  erhält man keine 0 in der Hauptdiagonalen der Endmatrix, also kann man  - beginnend mit  x₃  in Z3  - die in der Lösung angegebenen Unbekannten eindeutig ausrechnen.

Gruß Wolfgang