Bestimmen Sie alle Stamm- funktionen von f_{a} die sowohl negative als auch positive Funktionswerte haben.

Question

Aufgabe

Gegeben ist die Funktionenschar f_{a} mit f_{a}(x) = sin(ax + 1) ,a ≠ 0. Bestimmen Sie alle Stamm- funktionen von f_{a} die sowohl negative als auch positive Funktionswerte haben.

Problem/Ansatz:

Hilfe

Answer 1

Aloha :)

Die Stammfunktionen zu \(f_a(x)\) lauten:$$F_a(x)=-\frac1a\cos(ax+1)+c\quad;\quad a\ne0\;;\;c\in\mathbb R$$Da sie sowohl positive als auch negative Werte annehmen sollen, müssen wir die Wahl der Integrationskonstante \(c\) einschränken. Die Cosinus-Funktion nimmt unabhängig von \(a\) alle Werte im Intervall \([-1;1]\) an:$$F_a(x)=\underbrace{-\frac1a\overbrace{\cos(ax+1)}^{\in[-1;1]}}_{\in\left[-\frac1a;+\frac1a\right]}+c$$Daher muss \(|c|<\frac1a\) gelten, damit \(F_a(x)\) sowohl positive als auch negative Werte annimmt.

Comments

\(F_a(x)=\underbrace{-\frac1a\cos(ax+1)}_{\in[-\frac 1{|a|};\frac 1{|a|}]}+c\)
Hast irgendwie das \(\frac 1a\) übersehen.

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Danke dir, habe es echt übersehen...

Answer 2

Ableiten hilft hier weiter:

f '(x) = cos(ax+1)*a +C

-> F(x) = - cos(ax+1)/a

Kettenregel ausnutzen

F'(x) = f(x)

Comments

f '(x) = cos(ax+1)*a +C

-> F(x) = - cos(ax+1)/a

Das +C gehört zu F und fällt beim Ableiten weg.

Dafür muss bei F die Integrationskonstante c < 1/|a| stehen (alle STFKT!)

Vgl. den Kommentar von trancelocation