Konvergenz einer Funktion

Question

ich stehe gerade ein wenig auf dem Schlauch...

ich bin mir zu 100% sicher, dass die Funktionenfolge

sum( n^2 * (x+1)^n ) für n=1 bis inf

für -1 < x+1 < 1

konvergiert, da es einer geometrischen Reihe sehr ähnlich sieht und der exponentielle Teil den quadratischen "platt" macht... aber wenn es einer geometrischen Reihe so ähnlich sieht, müsste dann nicht auch die Summe der Funktionenreihe auf eben diesem Intervall bestimmbar sein?

Vielen Dank schon einmal im voraus!

Comments

Meinst du den Bereich von x wie folgt:

-1 < x + 1 < 1

-2 < x < 0

Für die Berechnung frag mal Wolframalpha

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum_n%3D1%5Einfinity+n%5E2*%28x%2B1%29%5En

---

Ja nett, bestätigt meinen Gedankengang, aber ist halt wie bei allen computer errechneten Beweisen: man lernt dabei nix ^^

aber vielen Dank schon ma :)

Answer 1

Das ist eine Potenzreihe.
Und die konvergiert natürlich für x=-1 (dann sind es ja alles 0en
und dann im sog. Konvergenzintervall, dessen Radius z.B. durch die
Formel   lim  | a_n/a_n+1 | bestimmt werden kann.
Hier wäre das der lim von
n^2 / (n+1)^2  und der ist 1,
also  Intervall ]-2 ; 0 [
und in den Randpunkten sicher nicht,

Comments

Ja, sorry, ich dachte, man verstünde es mit dieser Intervallangabe vielleicht besser

Die Aussage

-1 < x+1 < 1

ist äquivalent zu

-2 < x <0

was wieder äquivalent zu

x Element von ] -2 ; 0 [

ist...

das war mir allerdings schon vorher klar, nur muss es doch auch eine Summe geben und aufgrund der Ähnlichkeit zur geometrischen Reihe muss sie doch auch bestimmbar sein... oder?