Berechnen Sie das Taylorpolynom des dritten Grades der Funktion f in x_{0}=0

Question

Aufgabe:

\( f(x)=x e^{x} \)

a) Berechnen Sie das Taylorpolynom des dritten Grades der Funktion \( f \) in \( x_{0}=0 \).

b) Geben Sie an, wie im Falle von Aufgabenteil (a) das Restglied aussieht. (Der Punkt \xi muss nicht exakt bestimmt werden.)

c) Geben sie mit Hilfe des Satzes von Taylor an, wie groß der Approximationsfehler \( \left|f(x)-T_{3,}(x ; 0)\right| \) höchstens werden kann, wenn wir die Funktion \( f \) nur auf dem Intervall \( [0,1] \) betrachten.

Answer 1

Die k-te Ableitung von f ist (x+k)*e^x
(Beweis durch Ind.)

also T3(x) = f(0) + f ' (0)  *  x   + f ' ' (0) / 2!    *  x^2   +  f ' ' ' (0) / 3!  * x ^3
    =   0  +   1 * x    +   1 * x^2   +   (1/2) * x^3

Restglied:   ( xsi + 4) / 4 !  *  x^4 

Fehler  = |    ( xsi + 4)*e^xsi  / 4 !  *  x^4 |   mit x aus [0,1] und xsi aus [0;x]
              <  |    ( x + 4)*e^x  / 4 !  *  x^4 |
              =    |    ( x + 4)*e^x  / 24   *  x^4 |
und da x ≤1 also  kleiner gleich      |    ( 1 + 4)*e^x  / 24   *  1^4 |  ungefähr o,566