Sei M eine nicht-leere Teilmenge einer Gruppe (G,*). Beweisen Sie, dass ⟨M⟩ eine Untergruppe von G ist.

Question

Aufgabe:

Definition. Sei \( M \) eine nicht-leere Teilmenge einer Gruppe \( (G, *) . \) Wir betrachten die Teilmenge \( H \) von \( G, \) die aus Elementen \( m_1 * m_2 * ... * m_k \) besteht, wobei \( m_{i} \in M \) oder \( m_{i}^{-1} \in M \) für \( 1 \leqslant i \leqslant k \) und \( k \in \mathbb{N} \) ist. Man schreibt
\( H=\langle M\rangle . \)

a) Beweisen Sie, dass ⟨M⟩ eine Untergruppe von G ist. (Definition:  ⟨M⟩ heißt die von M erzeugte Untergruppe von G.)

b) Wir betrachten die Untergruppe ⟨4,14⟩ von ℤ₂₀. Wieviele Elemente hat diese Untergruppe?

Answer 1

bei B steht nicht dabei, welche Operation die Gruppe Z20 hat. Woher soll ich wissen ob ich die Elemente mit mal oder plus erzeuge... Ich vermute einfach mal plus, dann sit es einfach, einfach alle Elemente erzeugen, die du durch 4,14 erzeugen kannst, vozugsweise versuchen die 1 zu kriegen, damit kannst du dann alles erzeugen.

Comments

Die 1 kann man gar nicht bekommen, weil man nur durch 2 teilbare Elemente erzeugen kann durch 4 und 14.

Somit enthält die Untergruppe glaube ich zumindest alle durch zwei teilbaren zahlen inklusive der 0,

also: {0,2,4,6,8,10,12,14,16,18}

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Ich glaube ja fast, dass das eine Restklassengruppe ist. Demnach würde die vorherige Gruppe mit 10 Elementen wohl passen.

Kann das ein FAchmann bestätigen? :)

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wie sieht es mit einem Lösungsansatz für die a.) aus? Jemand eine Idee?

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Die von M erzeugte Untergruppe ist der Schnitt aller Untergruppen von M. Ein Beweis ist fast schon trivial...

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es wäre trotzdem nett wenn man das vielelicht einmal kurz erläutern würde, denn nicht allen erscheint so ein beweis "trivial"