Umformung einer Bruchgleichung

Question

Ich lese gerade ein Vorlesungsskript zum Thema künstliche Intelligenz. Dabei bin ich auf folgende Umformung gestoßen, die ich nicht ganz nachvollziehen kann:

w_ij,neu = ( w_ij,alt + η · e_j · a_i ) / ( ∑_k ( w_ik + η · e_k · a_i ) )

es gilt ∑_k ( e_k ) = 1 und ∑_k ( w_ik ) = 1.

Nach meinen Überlegungen erhalte ich damit

w_ij,neu = ( w_ij,alt + η · e_j · a_i ) / ( ∑_k ( w_ik ) + ∑_k ( e_k ) · η · a_i )

= ( w_ij,alt + η · e_j · a_i ) / ( 1 + η · a_i )

Das Vorlesungsskript macht darauß

w_ij,neu = w_ij,alt + ( η / ( 1 + η · a_i ) ) · ( e_j  - w_ij,alt ) · a_i

Diesen Schritt kann ich leider nicht nachvollziehen. Es wäre super wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte.

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Martin Kalbfuß

Answer 1

du kannst das Ergebnis aus der Vorlesung ja zusammenrechnen und du siehst das deine Umformung bei rumkommt. Wie man bspw. von deiner Form auf die Lösung aus der Vorlesung kommt:

$$\begin{aligned} w_{ij,neu} &= \frac{w_{ij,alt} + \eta e_j a_i}{1+ \eta a_i} =  \frac{w_{ij,alt} +w_{ij,alt}\eta  a_i -w_{ij,alt}\eta a_i + \eta e_j a_i}{1+ \eta a_i} \\ &= w_{ij,alt} + \frac{\eta}{1+ \eta a_i} (\eta- w_{ij,alt} ) a_i\end{aligned}$$

Gruß