Am einfachsten geht das mit der Hesse-Normalenform (HNF) der Ebenengleichung.
Da bestimmst du einen Normalenvektor von E,
z.B. bei b) von E1 ist das z.B. (2/1/-4) x (3/6/1) = (25/-14/9)
der hat die Länge wurzel(902).
Also ist 1/wurzel(902) * (25/-14/9)
Ein Normaleneinheitsvektor genannt no.
und dann ist die HNF:
1/wurzel(902) * (25/-14/9) * ( x - p ) = 0
dabei ist p ein Punkt von E1, also etwa (-5/-7/3)
und wenn du den einsetzt und für x den Nullvektor, bekommst du
statt der 0 hinter dem Gleichheitszeichen
den Abstand der Ebene vom Nullpunkt.
Jedenfalls, wenn du ein mögliches minus weglässt.
Setzt du für x einen anderen Punkt Q ein, erhältst
du den Abstand von Q zur Ebene.
Hier also den Nullpunkt nehmen:
1/wurzel(902) * (25/-14/9) * ( (0/0/0) - (-5/-7/3) )
gibt 0. Also hat E1 vom Nullpunkt den Abstand 0.
Sieht man auch, wenn man für sund t je 1 einsetzt.
Bei 2 hat du ja schon Normalenform, musst nur noch den
Normalenvektor (3/-3/0) normieren, also mit 1/Länge multiplizieren.
Länge ist wurzel(18) also Abstand vom Nullpunkt
((0/0/0) - ( -4 / 4 / 5) ) * (3 / -3 / 0 ) * 1/wurzel(18)
gibt - 24 / wurzel(18) ungefähr -5,656 also
Abstand vom Nullpunkt 5,656.
bei E3 ist (2/-2/4) ein Normalenvektor etc.
