Aufgabe:
Eine Lostrommel enthält rote (R) und blaue (B) Lose, die Gewinne (G) oder Nieten (N) sein können.
85% der roten Lose sind Nieten und 25% der blauen Lose sind die Gewinne. 10% der Lose in der Trommel sind blaue Gewinne. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt man bei der Lotterie?
Stellen Sie die Situation in einem Baumdiagramm dar!
Gegeben sind \(P_R(N)=0.85\), \(P_B(G)=0.25\) und \(P(B\cap G)=0.1\). Von den beiden möglichen Baumdiagrammen sollten wir nun dasjenige betrachten, das mit den Farben auf der ersten Stufe beginnt. Dann können wir nämlich die beiden gegebenen bedingten Wahrscheinlichkeiten als Kantenwahrscheinlichkeiten in der zweiten Stufe eintragen und mithilfe der außerdem gegebenen einen Pfadwahrscheinlichkeit den Baum vollständig berechnen und dann die Aufgabe lösen.
Im folgenden führe ich die Rechnung ohne Baum aus und beseitige Schritt für Schritt die nicht bekannten Wahrscheinlichkeiten. Gegebene Wahrscheinlichkeiten sind unterstrichen. Nach den Pfadregeln gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
$$ P(G) = \underline{P(B \cap G)} + P(R \cap G) $$$$ P(G) = \underline{P(B \cap G)} + P(R)\cdot P_R(G) $$$$ P(G) = \underline{P(B \cap G)} + \left(1-P(B)\right)\cdot \left(1-\underline{P_R(N)}\right) $$$$ P(G) = \underline{P(B \cap G)} + \left(1-\frac{\underline{P(B\cap G)}}{\underline{P_B(G)}}\right)\cdot \left(1-\underline{P_R(N)}\right) $$jetzt sind alle verwendeten Größen gegeben und wir können einsetzen und ausrechnen: $$ P(G) = 0.1 + \left(1-\frac{0.1}{0.25}\right)\cdot \left(1-0.85\right) = \underline{\underline{0.19}}$$
Mit ausgewertetem Baumdiagramm sieht die Rechnung so aus:
$$ P(G) = P(B \cap G) + P(R \cap G) $$$$ P(G) = P(B \cap G) + P(R)\cdot P_R(G) $$$$ P(G) = 0.1 + 0.6 \cdot 0.15 = \underline{\underline{0.19}} $$
