Orthonomalbasis, Skalarprodukt, Gram Schmidt Verfahren

Question

Aufgabe:

Sei

\( V=\left\{\left(\begin{array}{ll} a_{1} & a_{2} \\ a_{2} & a_{3} \end{array}\right) \mid a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{R}\right\} \)

der Vektorraum der reellen symmetrischen \( 2 \times 2 \)-Matrizen und sei

\( \langle\cdot, \cdot\rangle_{3}: V \times V \rightarrow \mathbb{R} ; \quad\left\langle\left(\begin{array}{ll} a_{1} & a_{2} \\ a_{2} & a_{3} \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} b_{1} & b_{2} \\ b_{2} & b_{3} \end{array}\right)\right\rangle_{3}=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+2 a_{3} b_{3} \)

ein Skalarprodukt von \( V \). Berechnen Sie mit dem Verfahren von Gram-Schmidt aus der Basis

\( \mathcal{B}=\left\{\left(\begin{array}{ll} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{array}\right)\right\} \)

von \( V \) eine Orthonormalbasis von \( V \) bzgl. des Skalarproduktes \( \langle\cdot, \cdot\rangle_{3} . \)

Answer 1

1.

Schau mal erst da:

https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren#Algorithmus_des_Orthonormalisierungsverfahrens

Die drei Matrizen sind w1,w2,w3    und  ||w||= wurzel(  < w,w >  )

Erst mal w1 normieren, also mit einem Faktor versehen, dass als

Skalarprodukt mit sich selbst 1 rauskommt.

w1*w1 = 0*0+2*2+0*0 = 4 also  || w1 || = 2  also ist der Faktor 1/2 und damit v1 =

0  1
1  0

jetzt erst mal   v2 ' bilden, also  w2 - < v1,w2> * v1

Dazu brauchst du   < v1,w2> =  0*-1 + 1*0 + 0*2 = 0

also ist  v2 ' = w2  und nun noch normieren

< v2 ' , v2 ' > = -1*-1 + 0*0 + 2*2 = wurzel(5) also 

v2 =   1/wurzel(5) * w2

dann

v3 ' bestimmen ( wie bei Wikipedia), dazu

< v1,w3> und < v2,w3> berechnen und einsetzen .....