Ermittle die Nullstellen der angegebenen Funktionen. Skizziere den Graphen. (Funktion 6. Grades)

Question

Aufgabe:

Ermittle die Nullstellen der angegebenen Funktionen. Skizziere für b) und e) den Graphen.

a) \( h: t \mapsto 18-3 t^{2}-6 t+t^{3} \)

b) \( f: a \mapsto 0,125 a^{4}-a^{2}+2 \)

c) \( g: u \mapsto u^{5}-u^{3}+8 u^{2} - 8 \)

d) \( \mathrm{f}: \mathrm{v} \mapsto 2 \mathrm{v}-\mathrm{v}^{2}-2+v^3 \)

e) \( \mathrm{k}: \mathrm{a} \mapsto(2 \mathrm{a}+1)^{2} \cdot 3 \mathrm{a}-3 \mathrm{a}(4 \mathrm{a}+4) \)

f) r: \( t \mapsto 4 t^{6}+2 t^{2}+8-9 t^{3}-3 t^{6}-2 t^{2} \)

Ansatz/Problem:

Bei der Aufgabe f habe ich die Polynomdivison angewendet (Nullstelle mithilfe der Wertetabelle im TR geraten). Allerdings findet sich ab T^4 keine Nullstelle mehr. Was habe ich falsch gemacht?

Answer 1

Fass dir die Funktion erstmal zusammen. Dann ist das eine einfache Substitution.

Comments

Hab ich gemacht, kriege als Lösungsmenge 1;2...Fehlen noch 4

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Nein fehlen sie nicht. Ein Polynom über R zerfällt nur bedingt in linearfaktoren, damit das immer gilt muss man eine Stufe höher gehen.

Ums einfach zu erklären, falls ihr schon Ableitungen gemacht habt, rechne die mal aus. Dann wirst du feststellen, dass 1 und 2 ebenfalls Nullstellen der Ableitungen sind. Diese Vielfachheiten musst du mit einberechnen, wenn du Nullstellen suchst.

Die Aussage, dass ein reelles Polynom vom Grad n n reelle Nullstellen hat ist falsch!.

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Danke dir, gut zu wissen:)

Das einzige was uns der Lehrer gesagt hat war: Eine Funktion n-ten Grades hat n Nulkstellen...

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Das ist auch so nicht ganz falsch. Da ihr wohl keine komplexen Zahlen behandelt, mach ein maximal dazwischen, dann stimmts wieder.

Answer 2

f ( x ) = 4 * t^6 + 2* t^2 + 8 - 9 * t^3 - 3 * t^6 - 2 * t^2
f ( x ) = t^6 - 9 * t^3 + 8

Ersetzen
z  = t^3
z^2 - 9 * z + 8 = 0  | pq-Formel oder quadratische Ergänzung
z ^2 - 9 * z + 4.5 ^2 = -8 + 4.5 ^2
( z - 4.5 ) ^2 = 12.25
z - 4.5 = ± 3.5
z = 8
z = 1

Zurückersetzen
t^3 = 8
t = 2
und
t^3 = 1
t = 1

~plot~ x^6 - 9 * x^3 + 8 ~plot~

Comments

Falsch
Das einzige was uns der Lehrer gesagt hat war:
Eine Funktion n-ten Grades hat n Nullstellen...

Richtig
Eine Funktion n-ten Grades hat maximal n Nullstellen...

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Diese Funktion hat zwei reelle und vier komplexe Nullstellen.

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Zwei reelle und sechs komplexe Nullstellen!

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Das wären dann insgesamt acht Nullstellen. Bemerkenswert für ein Polynom sechsten Grades!

Answer 3

Natürlich will Dein Lehrer Substitution sehen...

Aber falls das "Raten" nicht möglich ist - oder zur Kontrolle - , siehe hier:

http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

Da sieht man auch alle 6 Nullstellen: egal ob nun "doppelt" oder komplex.

Wenn bei der p-q-Formel was negatives in der Wurzel steht, bedeutet das nicht "keine Nullstelle", sondern "komplexe Nullstelle".