Zeigen Sie, dass die lineare Hülle der Vektoren ein Untervektorraum von R^5 ist.

Question

Aufgabe:

Gegeben seien \( \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3} \in \mathbb{R}^{5} \). Zeigen Sie, dass die lineare Hülle der Vektoren \( \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3} \) ein Untervektorraum von \( \mathbb{R}^{5} \) ist.

Ansatz/Problem:

Ich weiß, dass ich muss hier die Kriterien der UVR überprüfen aber verstehe nicht wie soll ich z.B zeigen dass V keine leere menge ist, wenn ich weiss nichts über die Vektoren.

Comments

Wie ist denn die lineare Hülle definiert?

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http://users.minet.uni-jena.de/~matveev/Lehre/LA14-15/vorlesung5_handout.pdf

vorlesung5_handout.pdf (0,1 MB)

Hier steht der Beweis recht verständlich drin.

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Die lineare Hülle ist ja gerade so definiert, dass man einen Vektorraum erhält, übrigens den kleinsten, der die Elemente enthält. Dein Problem war, dass du nicht weißt, warum die Menge nichtleer ist. Aber die enthält ja schon per Definition der Menge die Vektoren v1,v2 und v3, also mindestens den Nullvektor.

Answer 1

Das sieht zu einfach aus. Versteh da bestimmt etwas falsch.

Du hast span(v1,v2,v3)

Das sind ja gerade alle Linearkombinationen der Vektoren.

1. Es liegt z.B. v1 in der Menge, also ist die Menge nicht leer.

2. Mit a,b Element der Menge soll a+b auch in der Menge liegen. a ist als λ1* v1 +λ2*v2+λ3*v3 darstellbar. Das gilt für b analog.  Überlege dir also, wie a+b aussieht.

3. Ein Skalar x mal a soll in der Menge sein.( Linearkombination mit 2 der λ = 0 )

Comments

für 3. meintest du v*a? Sorry, uns wurde nicht genug Vorkenntnisse gegeben und jetzt fide ich es schwer zu verstehen. Also λv1+λv2+λv3?

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Den Beweis findest du auch in dem bereits bekannten Link.

Ich meinte 3. schon so wie ich geschrieben habe, wie man das Skalar und das Element der Menge letztendlich schreibt ist egal.

Was weißt du denn über die Axiome ,die in einem Untervektorraum gelten sollen?