Wie ergibt sich die Umformung des Terms? H(z) = Y(z) / X(z) =.... Brüche

Question

Bei einer Aufgabe aus dem Bereich der digitalen Signalverarbeitung verstehe ich leider nicht die einzelnen Schritte:

\( \begin{aligned} H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)} &=\frac{\frac{1}{3}+\frac{2}{3} z^{-1}+\frac{1}{3} z^{-2}}{1+\frac{2}{3} z^{-2}} \\ &=\frac{1}{3} \frac{z^{2}+2 z+1}{z^{2}+\frac{2}{3}}=\frac{1}{3} \frac{(z+1)^{2}}{z^{2}+\frac{2}{3}} . \end{aligned} \)

Also zum 2. Schritt hin wird ja mit *3 erweitert und hin zum 3. Schritt wird über dem Bruchstrich eine binomische Formel umgeschrieben. Was allerdings unter dem Bruchstrich passiert, verstehe ich nicht. Wie lassen sich die 2/3 vom z^^{-2} trennen?

Answer 1

es ist nicht mit 3 sondern mit 3z^2 erweitert worden.
dann wird   1/3  eben  z^2   und aus  1/3 z ^-2  wird   1.

Comments

Hmm okay, das klingt gut. Danke für die Antwort.

Dann müsste doch aber unter dem Bruchstrich aus 1 + 2/3^-2 ein 3z^2 + 2 werden, oder? Die 2/3 kann ich noch immer nicht einordnen.

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Da hast du recht. Die 2/3 sind ein Druckfehler, es muss  3z² + 2

heißen.

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Da hast du recht. Die 2/3 sind ein Druckfehler, es muss  3z² + 2 heißen.

Nicht, wenn die \(3\) so wie hier draußen bleibt.

Answer 2

Hi, vermutlich wurde mit \(3z^2\) erweitert.

Answer 3

Hier die Umformungsschritte