Wie sehe ich, dass diese Terme gleich sind? (log (n))^ log(n) und nlog^ (log(n))

Question

Gegeben sind

(log (n))^log(n)

und

n^log(log(n))

Wie muss ich umformen, sodass ich von dem einem zum anderen komme? Oder, woran sehe ich das die beiden Terme äquivalent sind?

Answer 1

Hätte ich nicht gedacht, aber für ein Beispiel mit n = 3 sind sie äquivalent.

(log (n))^log(n) = n^log(log(n))

n = 3

(log (3))^log(3) = 3^log(log(3))

0,70253336148921273 = 3^{log(0,47712125471966244)}

0,70253336148921273 = 0,70253336148921273

Hast du dir zwecks Herleitung die bekannten Logarithmusregeln angeschaut? 

Answer 2

 

 

(log (n))^log(n) = n^log(log(n))

                             |links und rechts log (da rechte Seite sicher >0  (n≠0 und n≠1wegen Definitionsbereich von log!)

log((log (n))^log(n) ) = log( n^log(log(n))  )

                           |Exponenten vor die log nehmen

log(n)* log(log(n)) = log(log(n))*log n                    

                     Stimmt, da Multiplikation von reellen Zahlen kommutativ.

 

Gib erst mam den Geltungsbereich deines Terms genau an. (n≠0 und n≠1, wegen Definitionsbereich!) vermutlich meinst du n natürlich und n > 1.

Beginne deinen Beweis nun von unten mit 3. 

Dann 2. 

zum Schluss 1.

Umformungen umgekehrt anschreiben.