Konvergenz von Summe k=1 bis n von n/sqrt(n^4+k) nur mit Grenzwertsätzen

Question

Hallo Forum-Mitglieder,

ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

Ich soll die Folge (an)n auf Konvergenz untersuchen und ggf. auch einen Grenzwert bestimmen. Dabei sie die Folge wie folgt definiert:

 

Ich habe schonmal die Folge versucht irgendwie mit den Sandwich Lemma abzuschätzen, wie z.B. nach oben mit 1, nach unten ist sie  jedoch nur mit 0 beschränkt. Konvergiert überhaupt die Folge? Wir haben bis jetzt noch nichts zu R eihen gemacht, nur ganz normale Konvergenz/Divergenz und das Monotoniekriterium kennen gelernt.

Könntet ihr mir eventuell einen kleinen Tipp geben.

LG

Orbi

Comments

Die wurzelfunktion stört monotonie nicht (auf monotones wachsen bezogen), das wäre mein Tipp.

Ich hab, eventuell als Kontrolle, einen Grenzwert von 0 raus.

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Vielen, viel Dank! Ich glaube ich habe die perfekte aschätzung gefunden!

Nach unten durch 0 und nach  oben durch

 

was ja gegen 0 konvergiert. Also muss a(n) auch gegen 0 konvergieren, gel?

LG

Orbi

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Unter der Voraussetzung das, greift hier das Sandwich lemma ja

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Was soll das bedeuten, tidus 1915?

"Unter der Voraussetzung das,"    Kommentiert vor 6 Minuten von tidus1915

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Ich hab die Abschätzungen nicht überprüft.

Wenn die von dir gemachten Abschätzungen so gelten, dann greift das sandwichlemma.

das war damit gemeint

Answer 1

Hi Orbi,

kann es sein, dass du die Folge für die obere Abschätzung so gewählt hast:

$$ b_n = \sum_{k=1}^n \frac{n}{\sqrt{n^4+n}} = \frac{n^2}{\sqrt{n^4+n}} $$

Dann hast du gleich 2 Denkfehler:

1. Es handelt sich bei \(b_n\) um eine untere Abschätzung der Folge \(a_n\) nicht um eine obere!

2. Der Grenzwert dieser Folge (und der Folge \(a_n\) ) ist sicherlich nicht 0

Eine obere Abschätzung wäre zum Beispiel die Folge:

$$ c_n = \sum_{k=1}^n \frac{n}{\sqrt{n^4}} $$

wobei ich das absichtlich so geschrieben habe. Die Vereinfachung überlasse ich dir :).

Gruß