Kreis, der die x1-Achse berührt sowie (1|2) und (-3|2) enthält

Question

Bestimme einen Kreis, der die x₁ -Achse berührt und durch die Punkte P (1|2) und Q(-3|2) geht.

Comments

Mein Ansatz zur Aufgabe war zwei Gleichungen mit P und Q in der allgemeinen Form der Kugelgleichung aufzustellen.

Dabei habe ich m₂ mit r gleichgesetzt.

Jedoch bekomme ich kein nachvollziehbares Ergebnis. Ist mein Rechenweg falsch? oder hab ich mich lediglich verrechnet?

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Hi, wenn \((a|0)\) der beliebig gewählte Berührpunkt ist, dann ist \((a|r)\) der Mittelpunkt und \(r\) der Radius des Kreises. Nun setzt Du die beiden Punkte in die Kreisflächenungleichung ein und wählst den Radius \(r\) so, das beide Ungleichungen erfüllt werden.

Answer 1

Das kannst du recht einfach über eine Skizze machen.

Answer 2

Bestimme einen Kreis, der die x -Achse berührt und durch die Punkte P (1|2) und Q(-3|2) geht.

Mittelpunkt von P und Q:

M_PQ  ((1 + (-3))/2 | 2) = M_PQ(-1 | 2).

Daher gilt für M_Kreis = M(-1| y) , wobei r = |y|.

Ausserdem |MP| = r

|MP| = | (1 -(-1) , 2 - y) | = | y | 

|MP| = | (2 , 2 - y) | = | y |  | ^2

4 + (4 - 4y + y^2) = y^2

8 - 4y = 0

8 = 4y

y = 2. 

Daher gilt M(-1 | 2). 

Zufälligerweise ist M(-1|2) = M_PQ(-1|2)

Anmerkung: 

Überlege dir noch, ob und wann du abkürzen kannst.

Bsp. Dass y nicht negativ sein kann und die Beträge überflüssig sind, weisst du eigentlich schon, wenn du P und Q siehst.

 

Answer 3

Vorabfrage : wieso die Bezeichnung x1-Achse oder manchmal höre ich hier auch 1.Achse.
Was hat sich seit den Bezeichungen x-Achse und y-Achse eigentlich geändert ?

Bestimme einen Kreis, der die x₁ -Achse berührt und durch die
Punkte P (1|2) und Q(-3|2) geht.

Aus der Angabe der gleichen Funktionswerte y = 2 kann man schließen
das xm ( Mittelpunkt des Kreises ) bei xm = -1 liegen muß.
( siehe die Skizze des Mathecoachs ).

Desweiteren liegt der Tiefpunkt eines Kreises immer unterhalb von xm und
soll hier der Berührpunkt der x-Achse sein  B ( -1  | 0 ).
Die allgemeine Kreisgleichung lautet
k ( x ) = √ ( r^2 - ( x - xm )^2 ) + ym
Hier
k ( x ) = √ ( r^2 - ( x - (-1) )^2 ) + ym
k ( x ) = √ ( r^2 - ( x + 1 )^2 ) + ym

Mit den Punkten P und B
k ( -1 ) = √ ( r^2 - ( -1 +1 ) )^2 ) + ym
k ( -1 ) = √ r^2  + ym
k ( 1 ) =  √ ( r^2 - ( 1 + 1 )^2 ) + ym

2 Gleichungen mit 2 Unbekannten

( Hinweis
Die allgemeine Kreisgleichung lautet
k ( x ) = √ ( r^2 - ( x - xm )^2 ) + ym
kann auch
k ( x ) = - √ ( r^2 - ( x - xm )^2 ) + ym
sein bzw. muß auch genommen werden )

Lösung : r = 2 usw.