Zeigen, dass Integrand verschwindet. (Fouriertransformation)

Question

im Rahmen eines kleinen Beweises kann ich ein Integral (über \(\mathbb R\)) in folgende Form bringen:

$$ \int \varphi(x)\psi(x+t)e^{isx}dx=0\quad\text{für alle }s,t\in\mathbb R,$$

wobei die Funktionen \(\varphi\) und \(\psi\) aus \(L^2(\mathbb R)\) sind. Ich will zeigen, dass der Integrand verschwinden muss (genauer \(\varphi\), aber \(\psi\) ist hier \(\neq 0\)). Setze ich t=0 ist das ja gerade sowas wie die Fouriertransformierte von \(\varphi\cdot\psi\) und dachte deshalb an den Satz von Plancherel, der besagt, dass für Schwartzfunktionen (die in L^2 dicht liegen) die Fouriertransformation eine Isometrie ist. Ich meine, dass der Satz auch für L^2 anwendbar ist, bin aber nicht 100% sicher. In diesem Fall würde aus obiger Gleichung ja direkt \(\varphi(x)\psi(x)=0\quad\text{fast überall}\) folgen.

Danke und viele Grüße

PS: Verzeiht die nichtssagenden Stichwörter - treffende ließen sich nicht auswählen.

Comments

Hat sich eigentlich schon erledigt, mein Kommentar ist aber wegen der Serverprobleme nicht angekommen.

Laut Werner lässt sich die FT zu einer Isometrie auf \(L^2(\mathbb R^n)\) fortsetzen und somit müsste aus obiger Gleichung folgen, dass die Norm der Fouriertransformierten, also die der Funktion, also die Funktion selbst verschwindet.

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Du bist Mathestudent ja? In welchem Semester bist du?

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Physikstudent um genau zu sein und im 6. Semester :) Warum?

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Achso ok. Ich frag nur aus Neugierde ;) Ich bin Mechtronikstudent im 3. Semester und hab halt absolut keine Ahnung was von was du da in deiner Frage schreibst. Ich hab was mit Fouriertransformation gelesen und aus Interesse mal drauf geklickt. Aber wenn wir etwas Fouriertransformieren müssen, dann bekommen wir ein super einfaches Signal welches man mit Hilfe von Tabellen ganz einfach transformiert.

Ist mathematisch natürlich eine andere Liga was du da machst.

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Ahja, da findet die natürlich viel Anwendung. Die Fouriertransformation hat ja die Eigenschaft, die integrierbaren Funktionen auf solche abzubilden, die stetig sind und im Unendlichen verschwinden. Bei sogenannten Schwartz-Funktionen (schnell fallende Funktionen) ist es aber ein isometrischer Isomorphismus in den gleichen Raum, das heißt die Fouriertransformierte einer schnell fallenden Funktion ist wieder eine schnell fallende und hat die selbe Norm. Das heißt, wenn die Fouriertransformierte einer solchen Funktion = 0 ist, muss zwangsläufig auch die Funktion selbst = 0 sein, was ich hier als Argument nutzen will um eben aus Integral = 0 Integrand = 0 folgern zu können. Kontext ist übrigens ein quantenmechanischer. Speziell geht es darum, dass die Schrödingerdarstellung der kanonischen Vertauschungsrelationen irreduzibel ist im Zusammenhang mit von Neumanns Satz über die Eindeutigkeit der Vertauschungsrelationen.

Ferragus

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Das ist übrigens doch nicht ganz so einfach, falls die Funktion nicht in L^1 und L^2 liegt. Die Fouriertransformation wird für L^2 dann nämlich anders definiert. Weiß jemand was dazu? (Wie) kann man trotzdem folgern, dass der Integrand = 0 sein muss?