Aloha :)
Du kannst nur konstante Faktoren vor das Integral ziehen. Das \(x\) ändert sich während der Integration. Daher darfst du das \(x\) nicht vor das Integral ziehen:$$\int\limits_a^b\frac{x}{x+5}dx\ne x\int\limits_a^b\frac{1}{x+5}dx$$
Was ich dir hier empfehlen würde, ist der Trick mit "Addition einer nahrhaften Null":
$$\int\limits_a^b\frac{x}{x+5}dx=\int\limits_a^b\frac{x+\,\overbrace{5-5}^{=0}}{x+5}dx=\int\limits_a^b\left(\frac{x+5}{x+5}-\frac{5}{x+5}\right)dx=\int\limits_a^b\left(1-\frac{5}{x+5}\right)dx$$Jetzt kannst du das Integral aufteilen und der Rest ist einfach nur Ausrechnen:$$\phantom{\int\limits_a^b\frac{x}{x+5}dx}=\int\limits_a^bdx-\int\limits_a^b\frac{5}{x+5}dx=(b-a)-\left[5\ln(x+5)\right]_a^b$$$$\phantom{\int\limits_a^b\frac{x}{x+5}dx}=(b-a)-5\ln(b+5)+5\ln(a+5)=(b-a)+5\ln\left(\frac{a+5}{b+5}\right)$$