Question

Darf ich gemäß der Faktorregel das x aus dem Integrand ziehen?

Folgendes: \( \int\limits_{a}^{b} \) \( \frac{x}{x+5} \)

= x \( \int\limits_{a}^{b} \) \( \frac{1}{x+5} \)

-> x*[ln|x+5|] ist das die korrekte Stammfunktion?

Answer 1

\( \int\limits_{}^{} \)\( \frac{x}{x+5} \)*dx

Substitution:

x+5=u   x=u-5          dx=du

\( \int\limits_{}^{} \)\( \frac{x}{x+5} \)*dx=\( \int\limits_{}^{} \)\( \frac{u-5}{u} \)*du=\( \int\limits_{}^{} \)(1-\( \frac{5}{u} \) )*du=u-5*lnu

Resubstitution:

\( \int\limits_{}^{} \)\( \frac{x}{x+5} \)*dx=x+5-5*ln(x+5)

????   \( \int\limits_{}^{} \)\( \frac{x}{x+5} \)*dx=x*\( \int\limits_{}^{} \)\( \frac{1}{x+5} \)*dx=x*ln(x+5)   ????

x*ln(x+5)   ≠  x+5-5*ln(x+5)

Answer 2

Aloha :)

Du kannst nur konstante Faktoren vor das Integral ziehen. Das \(x\) ändert sich während der Integration. Daher darfst du das \(x\) nicht vor das Integral ziehen:$$\int\limits_a^b\frac{x}{x+5}dx\ne x\int\limits_a^b\frac{1}{x+5}dx$$

Was ich dir hier empfehlen würde, ist der Trick mit "Addition einer nahrhaften Null":

$$\int\limits_a^b\frac{x}{x+5}dx=\int\limits_a^b\frac{x+\,\overbrace{5-5}^{=0}}{x+5}dx=\int\limits_a^b\left(\frac{x+5}{x+5}-\frac{5}{x+5}\right)dx=\int\limits_a^b\left(1-\frac{5}{x+5}\right)dx$$Jetzt kannst du das Integral aufteilen und der Rest ist einfach nur Ausrechnen:$$\phantom{\int\limits_a^b\frac{x}{x+5}dx}=\int\limits_a^bdx-\int\limits_a^b\frac{5}{x+5}dx=(b-a)-\left[5\ln(x+5)\right]_a^b$$$$\phantom{\int\limits_a^b\frac{x}{x+5}dx}=(b-a)-5\ln(b+5)+5\ln(a+5)=(b-a)+5\ln\left(\frac{a+5}{b+5}\right)$$

Answer 3

Die Stammfunktion ist x - 5·LN(x + 5).