Vektoren für eine Orthonormalbasis finden

Question

ich soll, falls möglich, Vektoren u, v, w ∈ ℝ⁴ angeben, die zusammen mit dem Vektor (1/2; 1/2; 1/2; 1/2;) ∈ ℝ⁴  eine Orthonormalbasis von ℝ⁴ bilden. Anderenfalls solle ich beweisen, dass es keine gibt.

Wie gehe ich vor?

Danke schon mal für Eure Hilfe!

Answer 1

Berechne mal die Länge von (1/2; 1/2; 1/2; 1/2)

das ist wurzel( 1/4+1/4+1/4+1/4 ) = wurzel(1) = 1

Also ist der schon mal normiert und könnte in einer

Orthonormalbasis von ℝ⁴ vorkommen.

Durch (4;-4;0;0) und (0;0;-4;4) und (0;4;-4;0)

hast du drei Vektoren, die zusammen mit dem gegebenen

eine Orthogonale Basis bilden, denn die Skalarprodukte

von je zwei verschiedenen sind immer 0.

Die dri "neuen" haben allerdings alle die Länge

wurzel ( 16+16 ) = 4*wurzel(2), müssen also noch jeweils mit dem

Faktor  1 / ( 4*wurzel(2) ) versehen werden.