um Scheitelpunkte via quadratischer Ergänzung zu bestimmen, benötigt man (meistens) die ersten beiden binomischen Formeln:
$$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$$
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
Sowie die allgemeine Form einer quadratischen Funktion:
$$x^2+px+q$$
Nun addiert und subtrahiert man folgenden Faktor zu seiner Gleichung hinzu:
$$ \frac {p^4}{4}$$
so dass die Gleichung dann wie folgt aussieht:
$$ x^2+px+ \frac {p^4}{4} -\frac {p^4}{4}+q$$
Daraus lässt sich dann via den binomischen Formeln ein Term basteln:
$$ x^2+px+ \frac {p^4}{4}$$
$$a^2+2*a*b+b^2$$
Daraus folgt die Scheitelpunktform:
$$f(x) = (x+\frac{p}{2})^2-\frac {p^4}{4}+q$$
Das sollte, wenn ich mich nicht verrechnet habe so stimmen.
Auf das Beispiel angewand heißt das:
$$f(x) = x^2+2x-8 $$
$$x^2+2x-8 = x^2+2x+1^2-1^2-8$$
Man beachte hier, das ich den Faktor bereits ausgerechnet habe, deswegen die 1
$$x^2+2x+1 \rightarrow (x+1)^2$$ dank der 1.Binomischen Formel
Damit liefert uns das:
$$f(x) = (x+1)^2-9$$
Daraus lässt sich dann der Scheitelpunkt ablesen, welcher hier bei x=-1 y=-9 ist
