Beweis lineare abbildung ONB

Question

kann jemand erklären wie man eine solche Beweis machen muss ?

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Gleiche Frage: https://www.mathelounge.de/82766/irgendeine-orthonormalbasis-orthono….

Answer 1

Du musst zeigen, dass für alle $u,v\in\mathbb{R}^2$ gilt: $\langle Q(u), Q(v)\rangle=\langle u,v\rangle$ (Skalarprodukt bleibt unter orthogonalen Abbildungen erhalten).

$\left\{\vec{b}_1,\vec{b}_2\right\}$ ist eine Orthonormalbasis von $\mathbb{R}^2$, d.h. mit geeigneten $\lambda_1, \lambda_2, \mu_1, \mu_2\in\mathbb{R}$ gilt: $u=\lambda_1\vec{b}_1+\lambda_2\vec{b}_2, v=\mu_1\vec{b}_1+\mu_2\vec{b}_2$.

Damit ist $\langle Q(u), Q(v)\rangle=\langle Q(\lambda_1\vec{b}_1+\lambda_2\vec{b}_2), Q(\mu_1\vec{b}_1+\mu_2\vec{b}_2)\rangle$.

Außerdem weißt du, dass $\left\{Q(\vec{b}_1),Q(\vec{b}_2)\right\}$ wieder eine Orthonormalbasis ist.
Mithilfe der Eigenschaften einer linearen Abbildung und des Skalarprodukts kannst du jetzt die obige Behauptung zeigen.

Answer 2

Q orthogonal heißt ja:

Bei der Abb. ist das Skalarprodukt der Originale gleich dem der Bilder

also etwa u*v = Q(u)*Q(v).

stelle u und v mit der Basis dar

u=a*b1+b*b2  und v= c*b1 + d*b2

und berechne u*v = (a*b1+b*b2 ) * ( c*b1 + d*b2 )

und nach den Rechenregeln für das Skalarprodukt

= a*c*b1*b1 + a*d*b1*b2 + b*c*b2*b1 + b*d*b2*b2

wegen der Orthonormlalität

= ac*1 + ad*0 + bc*0 + bd*1   =   ac+bd

dann ist    Q(u)*Q(v). = 

Q(a*b1+b*b2) *   Q (     c*b1 + d*b2  )   und wegen Linearität

= ( a* Q(b1) + b*Q(b2)  ) *   Q ( c*Q(b1) + d*Q(b2  )   )

und nach den Rechenregeln für das Skalarprodukt 

=  a*c*Q(b1)*Q(b1) +   a*d*Q(b1)*Q(b2) +   b*c*Q(b2)*Q(b1) +   b*d*Q(b2)*Q(b2)

und weil  Q(b1);Q(b2) auch eine Orthonormalbasis bilden ist das =

= ac*1 + ad*0 + bc*0 + bd*1   =   ac+bd     also  u*v = Q(u)*Q(v) q.e.d.