\(\mathcal{W} \) ist eine Orthonormalbasis vom endlichdimensionalen euklidischen Vektorraum, also etwa \(\mathcal{W} = \{ w_1,...,w_n\}\).
Sei nun \( x \in V \). Dann gibt es \( a_1, ... , a_n \) aus ℝ mit\( x=\sum \limits_{i=1}^{n} a_iw_i \).
Wegen \( x \perp \mathcal{W} \) gilt für alle k∈{1,...,n} \( <x,w_k> = 0 \)
Sei nun k∈{1,...,n} dann gilt :
\( <x,w_k> = 0 \) ==> \( <\sum \limits_{i=1}^{n} a_iw_i ,w_k> = 0 \)
Wegen der Multilinearität des Skalarproduktes folgt
\( a_k<w_k,w_k>+ <\sum \limits_{i=1,i\ne k}^{n} a_iw_i ,w_k> = 0 \)
==> \( a_k<w_k,w_k>+ \sum \limits_{i=1,i\ne k}^{n} a_i<w_i ,w_k> = 0 \)
Wegen der Orthonormalität folgt \( <w_k,w_k>=1 \)
und \( <w_i ,w_k> = 0 für i\ne k\)
also kurz \( a_k = 0 \).
Da für alle k∈{1,...,n} gilt \( a_k = 0 \) , folgt auch \( \sum \limits_{i=1}^{n} a_iw_i =0\)
also \( x=0 \). q.e.d.
