W ist ONB von V ⇒ x∈V und x⊥W, so ist x=0

Question

Aufgabe:

Sei $(V,\langle., .\rangle)$ ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum und $\mathcal{W}$ ein Orthonormalsystem von $V$. Beweisen Sie:

$\mathcal{W}$ ist eine Orthonormalbasis von $V \Rightarrow$ Ist $x \in V$ und $x \perp \mathcal{W}$, so ist $x=0$

Problem:

Einen ausführlichen Beweis bitte

Answer 1

$\mathcal{W}$ ist eine Orthonormalbasis vom endlichdimensionalen euklidischen Vektorraum, also etwa $\mathcal{W} = \{ w_1,...,w_n\}$.

Sei nun $x \in V$. Dann gibt es $a_1, ... , a_n$ aus ℝ mit$x=\sum \limits_{i=1}^{n} a_iw_i$.

Wegen $x \perp \mathcal{W}$ gilt für alle k∈{1,...,n}  $<x,w_k> = 0$

Sei nun  k∈{1,...,n} dann gilt :

$<x,w_k> = 0$  ==>    $<\sum \limits_{i=1}^{n} a_iw_i ,w_k> = 0$

Wegen der Multilinearität des Skalarproduktes folgt

                      $a_k<w_k,w_k>+ <\sum \limits_{i=1,i\ne k}^{n} a_iw_i ,w_k> = 0$

==>  $a_k<w_k,w_k>+ \sum \limits_{i=1,i\ne k}^{n} a_i<w_i ,w_k> = 0$

Wegen der Orthonormalität folgt $<w_k,w_k>=1$

                        und $<w_i ,w_k> = 0 für i\ne k$

also kurz    $a_k = 0$.

Da für alle k∈{1,...,n} gilt $a_k = 0$ , folgt auch $\sum \limits_{i=1}^{n} a_iw_i =0$

also $x=0$. q.e.d.

Comments

Danke für die ausführliche Antwort :D