zz. es existiert eine ONB von W, die Teil einer ONB von V ist

Question

Ich brauche bitte eure Unterstützung.

Und zwar:

Sei W UR eines SPR V. Zeige, es existiert eine ONB von W, die Teil einer ONB von V ist.

Meine Ansätze:

Sei V VR mit ONB B = {v1, ..., vn} und U⊆V.

Basisauswahlsatz ⇒ Wähle Basisvektoren aus V, um W aufzuspannen ⇒ Basis von W B_W={w1,...,wr}

⇒ B_W ist ONB, da aus B entstanden

oder :

Sei B_W={w1,...,wr} ONB von U.

Basisergänzungssatz ⇒ Ergänze B_w zu einer Basis von V mit ON-Vektoren

⇒B = {w1,...,wr,vr+1,...,vn}

⇒B ist auch ONB

Stimmt da was von mir oder gehe ich die Sache komplett falsch an ?

Ich freue mich über Unterstützung.