Anfangswertproblem mittels substitution Lösen

Question

Moin!

Ich soll 2 Anfangswertprobleme mittels Substitution Lösen.

Leider hab ich noch nie Substitution benutzt und weiß nicht wie es geht.

Könnte es jemand Schritt für Schritt vorrechnen?

Lösen Sie diese Anfangswertprobleme mithilfe geeigneter Substitutionen.

a) \( x^{\prime}=\sqrt{3 x+t-4}-\frac{1}{3}, \quad x(1)=1 \)

b) \( x^{\prime}=\frac{x}{t}+\left(\frac{x}{t}\right)^{2}+1, \quad x(1)=1 \)

Verifizieren Sie Ihr Ergebnis durch eine Probe.

Vielen

Answer 1

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Vorschlag :

substituiere  -> z = 3 x +t-4  ... =>   z'= 3x'+1  0> x' = ...

=> ( z'-1)/3 = sqrt( z) - 1/3

=>  z'= 3 sqrt(z)

Trennung der Variablen ..usw

fertig

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Answer 2

(b)  Substituiere \(z=\arctan\frac xt\) und erhalte$$z'=\frac{tx'-x}{x^2+t^2}=\frac{\frac{x^2}t+t}{x^2+t^2}=\frac1t.$$$$z=\log\vert t\vert+C.$$$$x=t\tan(\log\vert t\vert+C).$$

Answer 3

Hallo

Weil Du die Substitution noch nie benutzt hast, mal der ganz ausführliche Weg.(2. Aufgabe).

Diese Aufgabe "schreit" ja förmlich nach der einfachen Substuttution z=x/t.

Dann würde ich an Deiner Stelle auch diese nehmen.

Zum Schluß nicht vergessen ,die AWB ein zusetzen.