Explizite Form und Konvergenz einer Folge

Question

Hallo Forum-Mitglieder,

ich stecke vor einem Dilemma, nämlich bei folgender Aufgabe:

Ich habe wirklich keine Idee wie ich an die Aufgabe rangehen soll. Gibt es igrendeinen Trick, mit dem man die explizite Form berechnen kann oder ist dies nur wildes Ausprobieren?

LG

Orbo

Comments

Bei linearen Rekurrenzen hilft der Ansatz \(c_n=\lambda^n\) weiter.

Answer 1

Mit dem Ansatz von Gastia221 ergibt sich \( \lambda_1 = \alpha \) und \(\lambda_2 = \beta \)

Damit sieht die allg. Lösung so aus

$$  c_n = a \lambda_1^n + b \lambda_2^n  $$

Aus den Anfangsbedingungen für \( c_1, c_2 \) ergibt sich dann die Lösung

$$ c_n = \frac{\alpha^{n+1} - \beta^{n+1} }{\alpha - \beta} $$

Durch einsetzten kann man auch die Gültigkeit der Rekursion nachrechnen.

siehe auch hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Differenzengleichung

Comments

Offensichtlich divergiert ja dann die Folge... Soll ich dies dann beweisen, indem ich zeige, dass sie nicht bechränkt ist, oder gibt es da noch einen anderen Weg?

LG

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Hi, wieso divergiert die Folge? Für \( \alpha < 1 \) und \( \beta < 1 \)  konvergiert die Folge. Ebenso wenn \( \alpha = 1 \) und \( \beta < 1 \) oder \( \beta = 1 \) und \( \alpha < 1 \)

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Muss man dies auch beweisen und wie würe ich so etwas machen?

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Du musst nur überlegen was mit \( \alpha^n \) bei \( \alpha < 1 \) passiert. Und ja, in der Mathematik muss man alles beweisen.

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Okay, das mit dem α<1 habe ich mir schon klar gemacht. Meine Frage ist, wie zeigt man nun, dass die Folge für die Fälle α,β>1 divergiert?

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Weil \( \alpha^n \) über alle Grenzen wächst für \( \alpha > 1 \) und \( n \to \infty \)