Aloha :)
Wir betrachten die rekursiv definierte Folge:$$a_{n+1}=\frac{1}{2-a_n}\quad;\quad a_1\coloneqq\frac12$$
Die ersten Glieder:$$a_2=\frac{1}{2-\frac12}=\frac{1}{\frac32}=\frac23\quad;\quad a_2=\frac{1}{2-\frac23}=\frac{1}{\frac43}=\frac34\quad;\quad a_4=\frac{1}{2-\frac34}=\frac{1}{\frac54}=\frac45$$legen die Vermutung für folgende explizite Formel nahe:$$\pink{a_n=\frac{n}{n+1}}\quad\text{für alle }n\in\mathbb N$$
Wir beweisen ihre Gültigkeit durch vollständige Induktion.
Verankerung bei \(n=1\):$$a_n=a_1=\frac12=\frac{1}{1+1}=\frac{n}{n+1}\quad\checkmark$$
Induktionsschritt von \(n\) auf \((n+1)\):$$a_{n+1}=\frac{1}{2-a_n}=\frac{1}{2-\frac{n}{n+1}}=\frac{n+1}{2(n+1)-n}=\frac{n+1}{n+2}=\frac{(n+1)}{(n+1)+1}\quad\checkmark$$
Damit ist die explizite Formel bewiesen und die Folge wohldefiniert.
Für die Differenz benachbarter Folgenglieder gilt:$$a_{n+1}-a_n=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}=\frac{(n+1)^2}{(n+2)(n+1)}-\frac{n(n+2)}{(n+2)(n+1)}$$$$\phantom{a_{n+1}-a_n}=\frac{n^2+2n+1}{(n+2)(n+1)}-\frac{n^2+2n}{(n+2)(n+1)}=\frac{1}{(n+2)(n+1)}>0$$Daher ist \(a_{n+1}>a_n\) für alle \(n\in\mathbb N\), sodass die Folge streng monoton steigt.
Wegen der Montonie ist die Folge durch das Minimum \(a_1=\frac12\) nach unten beschränkt.
Wegen \(n<n+1\) ist \(a_n=\frac{n}{n+1}<1\) durch den Wert \(1\) nach oben beschränkt.
Der Grenzwert der Folge lautet:$$a=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=1$$
