Bestimmen der Gleichung einer Parabel 3.Ordnung durch gegebene Punkte.

Question

Eine Parabel 3. Ordnung verläuft durch die gegebenen Punkte. Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel.

A (-1/2)

B (2/-1)

C (-3/44)

D (1/0)

Ich bitte um Hilfe bei der Aufgabe weil ich verzweifel. Aber wenn jemand antwortet bitte ich darum mir es ordentlich zu erklären damit ich es auch anwenden kann.

Answer 1

f(x) = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d

f(-1) = 2 --> -a + b - c + d = 2
f(2) = -1 --> 8·a + 4·b + 2·c + d = -1
f(-3) = 44 --> - 27·a + 9·b - 3·c + d = 44
f(1) = 0 --> a + b + c + d = 0

Löse das LGS und du erhältst: a = -1 ∧ b = 2 ∧ c = 0 ∧ d = -1

f(x) = - 1·x^3 + 2·x^2 - 1

Comments

Tausend Dank ich habe es verstanden!

Answer 2

Du die liegt hart an der Grenze. Fast hätte ich gesagt, die geht nicht mehr durch Schmuddeltricks zu lösen. Eine Nullstelle hast du doch schon:

f  (  x  )  =:  g  (  x  )  (  x  -  1  )    (  1a  )

g  (  x  )  =  a2  x  ²  +  a1  x  +  a0       (  1b  )

Die Werte von g hast du; du musst nur überall in A , B und C durch den Faktor ( x - 1 ) teilen. Siehst du das?

A  '  =   -  (  1  |  1  )  ;  B  '  =  (  2  |  -  1  )  ;  C  '  =  -  (  3  |  11  )     (  2  )

Auf  gar keinen Fall lasse ich mich hier auf ein gekoppeltes LGS mit 3 Unbekannten ein .  Wieder kommt uns der Zufall zu Hilfe; ich glaub das kennt ihr hier alle .  Wegen g ( A ' ) = g ( B ' )  darf ich ich die Scheitelpunktform anwenden; der Scheitel liegt bei x0 = 1/2

g  (  x  )  =  k  (  x  -  1/2  )  ²  +  y0       (  3a  )

Zwei Punkte müssen wir einsetzen;  B  ' und C '

9  k  /  4  +  y0  =  (  -  1  )     (  3b  )

49  k  /  4  +  y0  =  (  -  11  )     (  3c  )

Subtraktionsverfahren  ( 3c ) - ( 3b )

10  k  =  (  -  10  )  ===>  k  =  (  -  1  )     (  4a  )

y0  =  5/4        (  4b  )

g  (  x  )  =  -  x  ²  +  x  + 1       (  5a  )

f  (  x  )  =  (  mit Hilfe von wolfram )  =  -  x  ³  +  2  x  ²  -1    (  5b  )

Probe mit dem Hornerschema empfehle ich dir im Kopf.

Bei der Verbesserung der Klausuren pflog unser gefürchteter Mathelehrer, der Scientologe " rolf " , bei derlei Gelegenheiten zu sagen

" Meine Herren; das war alles ... "

vielleicht noch ein zwischenschritt unklar? 

Comments

Bei dem oberem Vorschlag sehe ich besser durch, weil es auch grad zu unserem Thema in der Schule passt (GLS mit 3 oder mehr Unbekannten) . Ich verstehe grad auch gar nicht wie du startest. Also besser gesagt ich blicke bei deinem Vorschlag überhaupt nicht durch sorry.

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In der Schule denkt sich so ein jeder, wenn du genau so viel Gleichungen wie Unbekannte hast, geht das auf ===> lineare Abhängigkeit ===> schlechte Konditionierung.

Die Aufgabe, ein Polynom n-ten Grdes durch (n+1) Punkte zu legen, ist übrigens akademisch bestens abgesegnet. Der Eindeutigkeitsbeweis argumentiert, ein Polynom n-ten Grades kann keine (n+1) Nullstellen haben - frag mal deinen Lehrer. für die Lösung existiert eben Falls eine triviale geschlossene Darstellung ===> Lagrangepolynome . Kennt dein Lehrer bestimmt. Die haben bloß den Nachteil, dass du dich durch einen Wirrwarr von Klammern durchbeißen musst.

Also rein amtlich wäre nichts dagegen zu sagen, dass du in diesem Fall 4 Unbekannte löst; wie du siehst, sinne ich auf Abhilfe. In ( 1.1a ) erkenne ich, dass D eine Nullstelle darstellt; weißt du, dass Nullstellen faktorisieren?

Mir bleibt dann nur noch eine ( quadratische ) Parabel zu berechnen - wenn.

Ja wenn ich die " Inputdaten " A , B und C in ( 1.2 ) alle durch ( x - 1 ) teile. Der Faktor soll ja weg; also teile ich die gegebenen y-Werte jeweils durch ( x - 1 ) Verstehst du, was in ( 1.2 ) abgeht?

Ist dir die   ===>  Scheitelpunktform ( SF ) der Parabel vertraut? Weil bevor ich mit Funktionen 3. Grades anfange, muss ich mich erst mal beim 2 . Grade wie zu Hause fühlen. Aber ich arbeite grundsätzlich nur mit Schmuddeltricks und unverhofften Chancen, wie du siehst. Und ich fordere euch dazu heraus, mich in dieser Frechheit zu überbieten; euch bessere Strategien auszudenken als ich.

Die Beobachtung in ( 1.2 ) ; nach obiger Datenreduktion mit diesem Faktor ( x - 1 ) haben A ' und  B '  den selben y-Wert.  Früher war ich noch bei der Konkurrenz ===> Cos-miq; da werden Kommentare online angezeigt; wie dein Postfach heißt, kannse da voll vergessen. Du klickst einfach Online auf den Kommentar.

Und da bekam ich sehr schnell mit, was ihr könnt und was nicht. Was mich mit tiefster Befriedigung erfüllte;  SF  konnten alle. Das haben die sich sogar untereinander erklärt ohne mein Zutun. also wenn   g ( x1 ) = g ( x2 ) in ( 1.2 )  dann liegt natürlich der Scheitel x0 genau in der Mitte

x0  =  1/2  (  x1  +  x2  )     (  2.1  )

Die ganze Scheitelrechnung mit zwei Unbekannten passiert dann in ( 1.3;4 ) so wie ( 1.5a ) Hernach Klammern auflösen und den verschütt gegangenen Faktor ( x - 1 ) wieder drauf multiplizieren.

Bei Cos-miq ( unerwünschtes por-nografisches Wort ) konnten übrigens alle das ===> Hornerschema; das ist auch nicht schwerer wie Kopfrechenaufgaben ( " Kettenrechnungen " ) die sich Schüler der 4. Klasse wohl gemerkt untereinander stellen. Außerdem kannst du es auf jedem programmierbaren TR programmieren; ein Tastendruck - und du hast die Probe ...