Eigenwerte bestimmen. Matrix in F_(7)^{4+4}

Question

Aufgabe:

Es sei A \in \GaloisField{7}^{4 \times 4} gegeben durch \( \def \arraystretch{1.0} A = \begin{pmatrix} - 1 & 3 & 1 & - 3 \\ - 3 & 3 & 1 & 1 \\ - 3 & - 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & 3 & 2 \end{pmatrix} \).

Bestimmen Sie die Eigenwerte von \(A\) sowie die zugehörigen Eigenräume und algebraischen und geometrischen Vielfachheiten.

Comments

ich weiß zwar wie man den Eigenwert von Matrizen berechnet, aber bzgl eines Körpers kriege ich das nicht hin. Bitte um Hilfe

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Muss man nach jeder Rechnung, die man für Eigenwerte braucht, einfach modulo 7 rechnen.

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Ja, muss man.

Der umstand, dass eine Körperbedingung gegeben ist, wirkt sich nur auf die verfügbaren Zahlen aus.

Answer 1

I  -1 -λ        3       1        -  3    I

I -3          3-λ       1          1     I

I - 3           - 1       1-λ      1    I

I - 1          2           3      2-λ    I  ====>  λ^4 -5xλ³ + 10x λ²+ 120     !!

Comments

"λ⁴ -5xλ³ + 10x λ²+ 120     !!"

Wo kommen die x her?

Und modulo 7 rechnen wär noch ganz sinnvoll.