Reelle Matrix finden die bezüglich der Maximumsnorm aber nicht bezüglich der 1-Norm kontrahierend ist

Question

kann mir vielleicht jemand bei dieser Aufgabe helfen? ICh hab einfach keine Idee.

Finden Sie eine reelle 2x2-Matrix A, so dass die Abbildung x ↦ Ax von ℝ² in ℝ² kontrahierend bezüglich der Norm ||.||∞ aber nicht kontrahierend bezüglich der Norm ||.||₁ ist.

:)

Answer 1

Hi,
die Matrixnormen sind wie folgt definiert
$$ (1) \quad \| A \|_1 = \max_{1 \le k \le n } \sum_{j=1}^n |a_{jk}| $$
$$ (2) \quad \| A \|_\infty = \max_{1 \le j \le n } \sum_{k=1}^n |a_{jk}| $$ für beide gilt
$$ (3) \quad \| Ax \|_{1,\infty} \le \| A \|_{1,\infty} \cdot \| x \|_{1,\infty}  $$
D.h. man muss prüfen ob
$$ (4) \quad \| A \|_\infty < 1 $$ gilt. Z.B. gilt für
$$ (6) \quad A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ \frac{3}{4} & \frac{1}{8} \end{pmatrix} $$
$$ \| A \|_\infty = \frac{7}{8} < 1 $$
Damit ist die Abbildung kontrahierend bzgl. der \( \| \cdot \|_\infty \)

Wenn \( \| A \|_1 = \frac{5}{4} > 1 \) gilt, folgt aber nicht, dass die Abbildung nicht kontrahierend ist.

Man muss einen Vektor \( x \in \mathbb{R^2} \) finden, mit \( \| A x \|_1 > \| x \|_1 \)
Wähle \( x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) dann gilt
$$ \| Ax \|_1 = \left\| \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} \end{pmatrix} \right\|_1 = \frac{5}{4} \| x \|_1  $$
Damit kontrahiert die Abbildung nicht bzgl. der \( \| \cdot \|_1 \)