Funktionen überprüfen - Totale Funktionen: R2 = {(x, y) | x, y ∈ R: y^2 = x } R3 = {(x. y) | x, y ∈ R: y = 3x + 1}

Question

Präzision: Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie, welche der folgenden Relationen eine (totale) Funktion ist.

R2 = {(x, y) | x, y sind Element aus R: y² = x }
R3 = {(x. y) | x, y sind Element aus R: y = 3x + 1}

Frage/Unklarheiten ab hier: Gegeben seien zwei Funktionen

f1: y^2 = x, x und y aus den reellen Zahlen.

f2: y = 3x+1, x und y aus den reellen Zahlen

Nun ist f1 linkstotal und rechtseindeutig, da für jede Quadratzahl das Ergebnis auch in den reellen Zahlen ist und rechtseindeutig, da es keine zwei x Werte gibt, die y^2 entsprechen (also ist es auch nicht linkseindeutig).

 

f2 ist ebenfalls linkstotal, da man jede Zahl y in den reellen Zahlen durch ein x berechnen kann. x := (y-1)/3.

Es ist rechtseindeutig, da für jedes y das x aus der Gleichung 3x-1 eindeutig sein muss.

 

Stimmt das so oder ist dort ein Fehler drin?

Comments

So, wie f1 oben notiert ist, ist sie weder linkstotal noch rechtseindeutig. Wie ist denn die genaue Aufgabenstellung?

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Bestimmen Sie, welche der folgenden Relationen eine (totale)
Funktion ist.

R2 = {(x, y) | x, y sind Element aus R: y^2 = x }
R3 = {(x. y) | x, y sind Element aus R: y = 3x + 1}

Wieso ist es nicht linkstotal und rechtseindeutig?

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Du hast die Aufgabenstellung in der ursprünglichen Frage reichlich sinnwidrig wiedergegeben. Du schriebst von gegebenen Funktionen, gegeben waren aber Relationen und man sollte bestimmen, welche dieser Relationen eine (ggf. totale) Funktion, also eine linkstotale und rechtseindeutige Relation ist.

Für x < 0 ist (x, y) ∉ R2, also ist R2 nicht linkstotal und
wegen (1, 1) ∈ R2 und (1, −1) ∈ R2 auch nicht rechtseindeutig.
Das wären dann zwei gründe, warum R2 keine Funktion ist

Hingegen ist R3 als links- und rechtstotal und links- und rechtseindeutig.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Relationen und Funktionen überprüfen

Um festzustellen, ob die gegebenen Relationen Funktionen sind, müssen wir zwei Hauptkriterien überprüfen:
1. Jedes Element der Definitionsmenge (hier repräsentiert durch x-Werte) wird genau einem Element der Zielmenge (hier repräsentiert durch y-Werte) zugeordnet. Das bedeutet, für einen gegebenen x-Wert gibt es genau einen korrespondierenden y-Wert. Dies entspricht der Rechtseindeutigkeit.
2. Jedes Element der Definitionsmenge wird abgebildet. Das bedeutet, für jeden x-Wert aus dem Definitionsbereich gibt es mindestens ein Paar in der Relation. Dies entspricht der Linkstotalität.

Überprüfung von R2

Relation R2 ist definiert durch \(y^2 = x\).

- Linkstotalität: Für jedes \(x\) aus den reellen Zahlen gibt es nicht immer ein entsprechendes \(y\), da die Gleichung \(y^2 = x\) keine Lösung für negative \(x\)-Werte hat (z. B., es gibt keine reellen Zahlen \(y\), für die \(y^2 = -1\) gilt). Daher ist R2 nicht linkstotal im Sinne, dass nicht für jedes \(x\) aus \(\mathbb{R}\) ein \(y\) existiert.

- Rechtseindeutigkeit: Die Relation ist nicht rechtseindeutig für \(x > 0\), da es für jedes positive \(x\) zwei \(y\)-Werte gibt (ein positives und ein negatives \(y\)), die die Gleichung erfüllen. Zum Beispiel, für \(x = 4\), haben wir \(y = 2\) und \(y = -2\). Dies steht im Widerspruch zur Rechtseindeutigkeit, die fordert, dass es zu jedem \(x\) genau ein \(y\) geben muss.

Fehler: Die Aussage, dass R2 rechtseindeutig ist, ist ungenau, da für positive \(x\)-Werte zwei mögliche \(y\)-Werte existieren. Außerdem ist R2 nicht für alle \(x\) aus \(\mathbb{R}\) definiert, insbesondere nicht für \(x < 0\). R2 ist also weder vollständig linkstotal noch rechtseindeutig und somit keine Funktion im strengen mathematischen Sinn.

Überprüfung von R3

Relation R3 ist definiert durch \(y = 3x + 1\).

- Linkstotalität: Für jedes \(x\) aus den reellen Zahlen (\(\mathbb{R}\)) gibt es genau ein \(y\) in \(\mathbb{R}\), das der Gleichung \(y = 3x + 1\) genügt. Jede reelle Zahl kann als \(x\) eingesetzt werden, und wir erhalten ein eindeutiges \(y\). Daher ist R3 linkstotal.

- Rechtseindeutigkeit: Für jeden Wert von \(x\) gibt es genau einen Wert von \(y\), der durch die lineare Gleichung \(y = 3x + 1\) bestimmt wird. Dies erfüllt die Bedingung der Rechtseindeutigkeit.

Schlussfolgerung: Die Relation R3 ist eine (totale) Funktion, da sie sowohl linkstotal als auch rechtseindeutig im gesamten Definitionsbereich der reellen Zahlen ist.

Korrektur: Es ist ein Fehler in der Analyse von R2. R2 ist wegen der Mehrdeutigkeit in den Lösungen für positive \(x\) und der Nichtexistenz von Lösungen für negative \(x\) keine Funktion im strengen mathematischen Sinn. R3 ist hingegen eine (totale) Funktion, wie korrekt erläutert.