ein wenig spät die Antwort, aber dafür können sich die nachfolgenden Fragesteller Tipps abholen.
Für Differenzierbarkeitsuntersuchungen von Funktionen mehrerer Variablen eignet sich folgender Zusammenhang:
Stetig partiell differenzierbare Funktionen sind stetig (total) differenzierbar.
Können wir also zeigen, dass die partiellen Ableitungen einer Funktion alle existieren und sind diese noch stetig, dann folgt sofort, dass die Funktion (total) differenzierbar ist.
Nun zu den Aufgaben.
- \(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, \ (x,y) \mapsto |x|e^{y \sin(y)}\).
Hier ist es hilfreich, die Funktion erstmal anders hinzuschreiben:
\( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, \ (x,y) \mapsto \left\{\begin{array}{rcl} x e^{y \sin(y)} & \text{falls} & x > 0 \\ 0 & \text{falls} & x = 0 \\-x e^{y \sin(y)} & \text{falls} & x < 0 \end{array}\right. \).
- \(g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, \ (x,y) \mapsto \sin(x)\cos(x+y)\).
Berechne hier ohne Grenzwert \(\frac{df}{dx}(x,y)\) und \(\frac{df}{dy}(x,y)\) und untersuche diese auf Stetigkeit.
