Überprüfe auf partielle bzw. totale Differenzierbarkeit und berechne Ableitung

Question

Überprüfen Sie die folgende Funktion auf partielle bzw. totale Differenzierbarkeit und berechnen Sie die partielle/totale Ableitung, falls diese existiert.

f : ℝ³ → ℝ², f(x₁,x₂,x₃) = (x₁ * sin(x₃), x₂+x₃²)^T

Answer 1

Aloha :)

Alle partiellen Ableitungen sind stetig. Die Funktion ist also stetig partiell differenzierbar. Das ist sozusagen die höchste Stufe der Differenzierbarkeit, denn es gilt:

$$\begin{array}{l}\text{stetig partiell differenzierbar}\implies\text{total differenzierbar}\implies\text{partiell differenzierbar}\\\qquad\qquad\qquad\;\Downarrow\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\,\Downarrow\\\text{alle Richtungsableitungen existieren} \qquad\quad\text{stetig}\end{array}$$

Die totale Ableitung ist die Jacobi-Matrix der Funktion, diese enthält die Gradienten der Komponentenfunktionen als Zeilenvektoren:$$J\left(\begin{pmatrix}x\sin(z)\\[1ex]y+z^2\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}\sin(z) & 0 & x\cos(z)\\0 & 1 & 2z\end{pmatrix}$$

Comments

Vielen lieben Dank für eure Hilfe, ich hätte allerdings noch eine Aufgabe bei der ich nicht ganz weiter komme... ich denke ich werde Sie als neue Frage stellen.^^

Answer 2

Hallo

da die Komponenten ja brave differenzierbare Funktionen sind, musst du doch die partiellen Ableitungen nur einfach bestimmen. Wo liegt dann das Problem?

etwa f_x1=(sin(x3),0) usw

Gruß lul