Gleichungssystem mit 3 Variablen

Question

Aufgabe:

LGS mit 3 Variablen und einer Unbekannte die nur in einer Variable vorhanden ist.

Hallo, ich habe folgendes Gleichungssystem:

I: 4x + z^2 = 0

II: 3y^2 - 3 = 0

III: 2z - 2xz = 0

Problem/Ansatz:

Ich habe erst die erste Variable nach z aufgelöst. Dieses z dann in III eingesetzt und anschließend II nach y aufgelöst. Dabei habe ich folgende Werte erhalten:

x1: 0

x2,3: +- 1

y: 1

z1: 0

z2,3: +- 2

Kann mir jemand sagen, ob ich das überhaupt so lösen darf? Insbesondere, ob ich, um y zu erhalten einfach nach y auflösen kann. Ist das LGS überhaupt lösbar, weil y als Unbekannte ja nur in einer Gleichung vorhanden ist?

LG

Comments

Ich sehe kein Gleichungssystem !

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LGS mit 3 Variablen & einer Unbekannte nur in einer Variable

Wahrscheinlich solltest Du Dich vertraut machen damit, was eine Gleichung, eine lineare Gleichung, ein Gleichungssystem und ein LGS ist, sowie darüber, ob es einen Unterschied zwischen Variable und Unbekannte gibt.

Answer 1

Hallo, ich habe folgendes Gleichungssystem:

Nein, hast du nicht. Da ist kein einziges Gleichheitszeichen.

Ich habe erst die erste Variable nach z aufgelöst.

Meinst du "die erste Gleichung nach z aufgelöst"?

Das wäre ein geeignetes Vorgehen.

Dieses z dann in III eingesetzt und anschließend II nach y aufgelöst.

In Ordnung.

Kann mir jemand sagen, ob ich das überhaupt so lösen darf?

Das darfst du so lösen.

Insbesondere, ob ich, um y zu erhalten einfach nach y auflösen kann.

Ja, kannst du.

Ist das LGS überhaupt lösbar

Das kann man nicht beurteilen ohne das Gleichungssystem zu kennen.

weil y als Unbekannte ja nur in einer Gleichung vorhanden ist?

Das spricht nicht gegen Lösbarkeit.

Comments

Vielen lieben Dank! Mir ist gerade aufgefallen, dass ich das = 0 in den Gleichungen vergessen habe

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Dann handelt sich nicht um ein LGS (also um ein lineares Gleichungssystem) sondern allgemein um ein Gleichungssystem. In einem linearen Gleichungssystem werden keine Variablen miteinander multipliziert.

In der Gleichung

    4x + z² = 0

wird die Variabe z mit sich selbst multipliziert. In der Gleichung

        2z - 2xz = 0

wird die Variable x mit der Variablen z multipliziert.

Answer 2

Hallo,

I: 4x + z^2 = 0

II: 3y^2 - 3 = 0

III: 2z - 2xz = 0

Aus II folgt y=±1.

III → 2z•(1-x)=0, also z=0 oder x=1

Wenn ich z=0 in I einsetze: 4x=0 → x=0

Wenn ich x=1 einsetze:

 4+z^2=0 → keine reelle Lösung.

x=0, y=±1, z=0

:-)

Comments

Danke dir!!!

Answer 3

Da in der zweiten Gleichung das y alleine steht kannst du direkt nach y auflösen

3y^2 - 3 = 0 --> y = ±1

Für die dritte Gleichung wende den Satz vom Nullprodukt an

2·z - 2·x·z = 2·z·(1 - x) = 0 --> x = 1 ∨ z = 0

Mit diesen 2 Fällen gehst du in die letzte Gleichung

Fall 1: x = 1

4·1 + z^2 = 0 --> z = ± 2·i oder keine Lösung in R

Fall 2: z = 0

4·x + 0^2 = 0 → x = 0

Damit hast du alle Lösungen beisammen

[x = 0 ∧ y = 1 ∧ z = 0,
x = 0 ∧ y = -1 ∧ z = 0,
x = 1 ∧ y = 1 ∧ z = 2·i,
x = 1 ∧ y = 1 ∧ z = - 2·i,
x = 1 ∧ y = -1 ∧ z = 2·i,
x = 1 ∧ y = -1 ∧ z = - 2·i]

Wie gesagt im Bereich der reellen Zahlen entfallen die Komplexen Lösungen.