totale Ableitung einer Funktion die aus 2 Funktionen besteht

Question

Y(A,K)=25A^0.7 K^0.3

mit A=A(t) = \( \sqrt{t} \) + 20

K = K(t) = t² +8

kann mir jemand bitte helfen, diese Funktion nach t abzuleiten?

Answer 1

Aloha :)

Hier würde ich zur Kettenregel raten:$$\frac{dY}{dt}=\pink{\frac{\partial Y}{\partial A}}\cdot\green{\frac{dA}{dt}}+\red{\frac{\partial Y}{\partial K}}\cdot\blue{\frac{dK}{dt}}$$$$\phantom{\frac{dY}{dt}}=\pink{0,7\cdot25A^{-0,3}K^{0,3}}\cdot\green{\frac{1}{2\sqrt t}}+\red{0,3\cdot25A^{0,7}K^{-0,7}}\cdot\blue{2t}$$$$\phantom{\frac{dY}{dt}}=\pink{\frac{0,7}{A}\cdot25A^{0,7}K^{0,3}}\cdot\green{\frac{1}{2\sqrt t}}+\red{\frac{0,3}{K}\cdot25A^{0,7}K^{0,3}}\cdot\blue{2t}$$$$\phantom{\frac{dY}{dt}}=\pink{\frac{0,7}{A}\cdot Y}\cdot\green{\frac{1}{2\sqrt t}}+\red{\frac{0,3}{K}\cdot Y}\cdot\blue{2t}$$$$\phantom{\frac{dY}{dt}}=Y\cdot\left(\frac{0,7}{2A\sqrt t}+\frac{0,6t}{K}\right)=\frac{Y}{10}\cdot\left(\frac{7}{2A\sqrt t}+\frac{6t}{K}\right)$$

Comments

ich habe eine kleine Frage zu

\(\phantom{\frac{dY}{dt}}=\pink{\frac{0,7}{A}\cdot Y}\cdot\green{\frac{1}{2\sqrt t}}+\red{\frac{0,3}{K}\cdot Y}\cdot\blue{2t}\)

muss man hier mit Y multiplizieren? also ich sehe schon, dass Y die ursprüngliche Funktion 25A^0.7 K^0.3 ersetzen soll, es wäre aber auch ohne das Ersetzen richtig gewesen, oder?

und Danke!

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Ja, ich hätte die Ableitung schon nach der ersten Zeile stehen lassen können. Dann habe ich gesehen, dass da in beiden Summanden fast wieder \(Y\) steht. Ich habe das Ergebnis dann so umgebaut. Aber das war nur Kosmetik. Das Entscheidende war hier die Anwendung der Kettenregel.