kanonische Basis Matrizen für Koordinatenwechsel

Question

Im R^3 seien folgende Basen definiert: die kanonische Basis E ={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} ,die Basis B = {(1;1;0);(0;1;1);(2;0;1)} und die Basis C = {(1;1;1);(0;1;1);(2;0;1)}.

Geben Sie die Matrizen für die folgenden Koordinatenwechsel an:
a) von B zu E, von E zu B,
b) von C zu E, von E zu C,c) von B zu C

Kann mir jemand die Vorgehensweise skizzieren?

Answer 1

wenn du irgendeinen Vektor mit der Basis B darstellst, hast du ja die Koordinaten

bzgl B, etwa a,b,c dann ist das in Matrixschreibweise die Matrix M

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110
011

mal den Koordinatenvektor v

a
b
c

Wenn du jetzt die Koordinaten x,y,z etwa bezüglich der Basis E haben willst,

heißt das ja, der gleiche Vektor soll in der Form

E mal Koordinatenvektor w=

x
y
z

geschrieben werden.

Also

M*v = E*w

E*w ist aber w, also ist

M*v=w

Also ist die Matrix des Basiswechsels einfach nur M,

also die Matrix, die die Basisvektoren von B als Spalten enthält.

von E nach B ist dann schon etwas mehr Aufwand, du kennst dann

ja w und willst v ausrechnen.

Aus der Gleichung oben  M*v=w

machst du dann   v = M ^-1 * w

Die Matrix dieses Basiswechsels ist also die Inverse von M

1/3   2/3    -2/3
-1/3   1/3    2/3
1/3    -1/3    1/3

etc.

Comments

Danke, so habe ich es jetzt schon gelöst.

Noch zu c) von B zu C :

Erhalte ich dort die Transformationsmatrix T mit: T = B*C^-1?

Vielen Dank

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Ist es nicht andersherum C^-1 * B   ?

denn die Koo bzgl B sind meinetwegen im Vektor v.

dann erst mal   B*v gibt die Koo bzgl E.

und jetzt diese bezüglich C darstellen, wäre doch

C^-1 *B * v